《线性代数》期终试卷1

（ 2学时）

本试卷共七大题

一、填空题 (本大题共7个小题，满分25分)：

1. (4分)设阶实对称矩阵的特征值为 , , , 的属于 的特征向量是

, 则 的属于 的两个线性无关的特征向量是

( )；

2. (4分)设阶矩阵矩阵, 则

的特征值为,,,, 其中 是 的伴随

的行列式 ( )；

3. (4分)设 , , 则

( )；

4. (4分)已知维列向量组的向量空间为

,则

的维数dim

( )；

所生成

5. (3分)二次型经过正交变换可化为

标准型 ,则( )；

6. (3分)行列式中 的系数是( )；

7. (3分)

元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为, 已知

解向量 , 其中 , , 则该方程组的通解是

( )。

二、计算行列

式：

(满分10分)

三、设 , , 求 。

(满分10分)

四、取何值时, 线性方程组

有解时求出所有解（用向量形式表示）。

是它的个

无解或有解？

(满分15分)

五、设向量组

,

,

线性无关 , 问: 常数

也线性无关。

满足什么条件时, 向量组

(满分10分)

六、已知二次型 ，

(1) 写出二次型 的矩阵表达式；

(2) 求一个正交变换 ，把 化为标准形, 并写该标准型；

(3) 是什么类型的二次曲面?

(满分15分)

七、证明题（本大题共 2个小题，满分15分）： 1．(7分)设向量组

线性无关 , 向量

能由

线性表示 , 向量

不能由线性表示 . 证明: 向量组 也线性无关。

2. (8分)设是 矩阵, 是 矩阵, 证明: 时, 齐次线性方程组

必有非零解。