七年级数学上册知识点总结
第一章 有理数
1.1 正数和负数
⒈正数和负数的概念 负数：比 0 小的数
正数：比 0 大的数
0 既不是正数，也不是负数
注意 ：①字母 a 可以表示任意数，当 例如 +a,-a 就不能做出简单判断） ②正数有时也可以在前面加“ 2. 具有相反意义的量
若正数表示某种意义的量，则负数可以表示具有与该正数相反意义的量，比如：零上 8℃表示为： +8℃；零下 8℃表示为： -8 ℃ 3.0 表示的意义
⑴ 0 表示“ 没有”，如教室里有 （ 3）0 表示一个确切的量。如：
+”，有时“ +”省略不写。所以省略“
+”的正数的符号是正号。
a 表示正数时， -a 是负数；当 a 表示负数时， -a 是正数；当 a 表
示 0 时， -a 仍是 0。（如果出判断题为：带正号的数是正数，带负号的数是负数，这种说法是错误的，
0 个人，就是说教室里没有人；
0℃以及有些题目中的基准，比如以海平面为基准，则
⑵ 0 是正数和负数的分界线， 0 既不是正数，也不是负数。 面。
0 米就表示海平
1.2 有理数
1. 有理数的概念
⑴正整数、 0、负整数统称为整数（ ⑵正分数和负分数统称为分数
⑶正整数， 0，负整数，正分数，负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数。
理解 ：只有能化成分数的数才是有理数。①π是无限不循环小数，不能写成分数形式，不是有理数。 ②有限小数和无限循环小数都可化成分数，都是有理数。 注意 ：引入负数以后， 奇数和偶数的范围也扩大了，像
3，整数也能化成分数，也是有理数
0 和正整数统称为自然数）
-2,-4,-6,-8 ?也是偶数， -1,-3,-5 ?也是奇数。
2. 有理数的分类
⑴按有理数的意义分类
正整数
整数
有理数
正分数
分数
⑵按正、负来分
正整数 正分数 负整数 负分数
0
正有理数
有理数
负整数
0
（ 0 不能忽视）
负有理数
负分数
总结：①正整数、
0 统称为非负整数（也叫自然数）
②负整数、 0 统称为非正整数 ③正有理数、 0 统称为非负有理数 ④负有理数、 0 统称为非正有理数
3. 数轴⒈数轴的概念
规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴。
注意 ：⑴数轴是一条向两端无限延伸的直线；⑵原点、正方向、单位长度是数轴的三要素，三者缺一不可；⑶同一数轴上的单位长度要统一；⑷数轴的三要素都是根据实际需要规定的。
2. 数轴上的点与有理数的关系
⑴所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，
正有理数可用原点右边的点表示，
的点表示， 0 用原点表示。
⑵ 所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数 数轴上的点不是一一对应关系。 （如，数轴上的点π不是有理数
负有理数可用原点左边，也就是说，有理数与
）
3. 利用数轴表示两数大小
⑴在数轴上数的大小比较，右边的数总比左边的数大； ⑵正数都大于 0，负数都小于 0，正数大于负数；
⑶两个负数比较，距离原点远的数比距离原点近的数小。
4. 数轴上特殊的最大（小）数 ⑴最小的自然数是 ⑵最小的正整数是
0，无最大的自然数； 1，无最大的正整数；
⑶最大的负整数是 -1 ，无最小的负整数 5.a 可以表示什么数
⑴ a>0 表示 a 是正数；反之， a 是正数，则 a>0； ⑵ a<0 表示 a 是负数；反之， a 是负数，则 a<0 ⑶ a=0 表示 a 是 0；反之， a 是 0, ，则 a=0
4. 相反数
⒈相反数
只有符号不同的两个数叫做互为相反数，其中一个是另一个的相反数， 0 的相反数是 0。注意：⑴相反数是成对出现的；⑵相反数只有符号不同，若一个为正，则另一个为负； ⑶ 0 的相反数是它本身； 相反数为本身的数是 0。
2. 相反数的性质与判定⑴任何数都有相反数，且只有一个； ⑵ 0 的相
反数是 0；
⑶互为相反数的两数和为 3. 相反数的几何意义
在数轴上与原点距离相等的两点表示的两个数，是互为相反数 应点（ 0 除外）在原点两旁，并且与原点的距离相等。 说明：在数轴上，表示互为相反数的两个点关于原点对称。
；互为相反数的两个数，在数轴上的对
0 的相反数。
0 的相反数对应原点；原点表示
0，和为 0 的两数互为相反数，即
a， b 互为相反数，则 a+b=0
4. 相反数的求法
⑴求一个数的相反数，只要在它的前面添上负号“ ⑵ 求多个数的和或差的相反数时， 化简得 -5a-b ）；
⑶求前面带“ - ”的单个数，也应先用括号括起来再添“ - ”即可求得（如： 5 的相反数是 -5 ）；
要用括号括起来再添 “ - ”，然后化简 （如； 5a+b -（ 5a+b）。 的相反数是
- ”，然后化简 (如：-5
的相反数是 - （-5 ），化
简得 5)
5. 相反数的表示方法
⑴一般地，数 a 的相反数是 -a
，其中 a 是任意有理数，可以是正数、负数或
0。
当 a>0 时， -a<0 （正数的相反数是负数） 当 a<0 时， -a>0 （负数的相反数是正数） 当 a=0 时， -a=0 ，（ 0 的相反数是 0）
5. 绝对值
⒈绝对值的几何定义
一般地，数轴上表示
数 a 的点与 原点 的距离叫做
a 的绝对值，记作 |a| 。
2. 绝对值的代数定义
⑴一个正数的绝对值是它本身；
⑵一个负数的绝对值是它的相反数；
⑶ 0 的绝对值是 0.
可用字母表示为：
①如果 a>0，那么 |a|=a ； ②如果 a<0，那么 |a|=-a ；
③如果 a=0，那么 |a|=0 。
可归纳为①： a≥ 0， <═> |a|=a （非负数的绝对值等于本身；绝对值等于本身的数是非负数。
）② a≤ 0，<═ > |a|=-a（非正数的绝对值等于其相反数；绝对值等于其相反数的数是非正数。
）
经典考题
如数轴所示，化简下列各数 |a|, |b| , |c| , |a-b|, |a-c| , |b+c| 解：由题知道，因为
a>0 ， b<0，c<0, a-b>0, a-c>0, b+c<0
，
所以 |a|=a ,|b|=-b, |c|=-c ,|a-b|=a-b , |a-c|=a-c ,|b+c|=-(b+c)=-b-c
3. 绝对值的性质
任何一个有理数的绝对值都是非负数，也就是说绝对值具有非负性。所以， a 取任何有理数，都有 |a|≥ 0。 即⑴ 0 的绝对值是 0；绝对值是 0 的数是 0. 即： a=0 < ═ > |a|=0 ；
⑵一个数的绝对值是非负数，
绝对值最小的数是 0. 即： |a|
≥0；
⑶任何数的绝对值都不小于原数。即： |a| ≥ a；
⑷绝对值是相同正数的数有两个，它们互为相反数。即：若
|x|=a （ a>0），则 x=± a；
⑸互为相反数的两数的绝对值相等。即：
|-a|=|a| 或若 a+b=0，则 |a|=|b| ；
⑹绝对值相等的两数相等或互为相反数。即： |a|=|b|
，则 a=b 或 a=-b ；
⑺若几个数的绝对值的和等于
0，则这几个数就同时为 0。即 |a|+|b|=0 ，则 a=0 且 b=0。
（非负数的常用性质：若几个非负数的和为
0，则有且只有这几个非负数同时为
0）
经典考题
已知 |a+3|+|2b-2|+|c-1|=0,
的值
解：因为 |a+3|
|2b-2|
求 a+b+c ， |c-1|
|a+3|+|2b-2|+|c-1|=0
≥ 0， ≥ 0
≥ 0，且
所以 |a+3|=0 ，|2b-2|=0 ，|c-1|=0
即 a=-3 ,b=1 ,c=1
所以 a+b+c=-3+1+1=-1
4. 有理数大小的比较
⑴利用数轴比较两个数的大小：数轴上的两个数相比较，左边的总比右边的小；⑵利用绝对值比较两个负数的大小：两个负数比较大小，绝对值大的反而小；异号两数比较大小，正数大于负数。
5. 绝对值的化简 ①当 a≥0 时， |a|=a
；
②当 a≤ 0 时， |a|=-a
6. 已知一个数的绝对值，求这个数 一个数 a 的绝对值就是数轴上表示数 两个，它们互为相反数，绝对值为
a 的点到原点的距离， 一般地，绝对值为同一个正数的有理数有
如： |a|=5 ，则 a=土 5
0 的数是 0，没有绝对值为负数的数。
1.3 有理数的加减法
1. 有理数的加法法则⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；⑵绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；⑶互为相反数的两数相加，和为零；
⑷一个数与零相加，仍得这个数。 2. 有理数加法的运算律 ⑴加法交换律： a+b=b+a
⑵加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c)
在运用运算律时，一定要根据需要灵活运用，以达到化简的目的，通常有下列规律： ①互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法” ②符号相同的两个数先相加——“同号结合法” ③分母相同的数先相加——“同分母结合法” ④几个数相加得到整数，先相加——“凑整法”
； ；
；
。 ；
⑤整数与整数、小数与小数相加——“同形结合法” 3. 加法性质
一个数加正数后的和比原数大；加负数后的和比原数小；加
⑴当 b>0 时， a+b>a ⑵当 b<0 时， a+b 0 后的和等于原数。即： ⑶当 b=0 时， a+b=a 4. 有理数减法法则 减去一个数，等于加上这个数的相反数。用字母表示为： a-b=a+(-b) 。 5. 有理数加减法统一成加法的意义 在有理数加减法混合运算中， 根据有理数减法法则， 可以将减法转化成加法后， 再按照加法法则进行计算。 在和式里，通常把各个加数的括号和它前面的加号省略不写，写成省略加号的和的形式。如： (-8)+(-7)+(-6)+(+5)=-8-7-6+5. 和式的读法：①按这个式子表示的意义读作“负 8、负 7、负 6、正 5 的和” ②按运算意义读作“负 8减7减 6加 5” 6. 有理数加减混合运算中运用结合律时的一些技巧： Ⅰ . 把符号相同的加数相结合（同号结合法） (-33)-(-18)+(-15)-(+1)+(+23) 原式 =-33+(+18)+(-15)+(-1)+(+23) （将减法转换成加法） =-33+18-15-1+23 （省略加号和括号） =(-33-15-1)+(18+23) （把符号相同的加数相结合） =-49+41 （运用加法法则一进行运算） =-8 （运用加法法则二进行运算） Ⅱ . 把和为整数的加数相结合 （凑整法） (+6.6)+(-5.2)-(-3.8)+(-2.6)-(+4.8) 原式 =(+6.6)+(-5.2)+(+3.8)+(-2.6)+(-4.8) （将减法转换成加法） =6.6-5.2+3.8-2.6-4.8 （省略加号和括号） =(6.6-2.6)+(-5.2-4.8)+3.8 （把和为整数的加数相结合）=4-10+3.8 （运用加法法则进行运算） =7.8-10 （把符号相同的加数相结合，并进行运算）=-2.2 （得出结论） Ⅲ . 把分母相同或便于通分的加数相结合（同分母结合法） - 3- 1+3- 2+1-7 5 2 4 32 5 2 8 原式 =(- - )+(- 1+1 )+(+ 3 - 7 ) 5 2 2 4 8 =-1+0-15 1 8 =-1 Ⅳ . 既有小数又有分数的运算要统一后再结合（先统一后结合）3 (+0.125)-(-3 )+(-3 1 )-(-10 2 )-(+1.25) 1 4 8 3 原式 =(+ )+(+3 3 )+(-3 1 )+(+10 2 )+(-1 1 ) 8 = +31 38 13 4 -314 +102 -1 83 41 8 3 4 =(3 -1 )+( 1 -3 1 )+10 2 14 42 8 8 3 =2 -3+10 2 =-3+13 1 3 6