高等教育自学考试网上辅导 概率论与数理统计
例10 P16 例1－25
在某工厂中有甲、乙、丙三台机器生产同一型号的产品，它们的产量各占30%，35%，35%，并且在各自的产品中废品率分别为5%，4%，3%，求从该厂的这种产品中任取一件是废品的概率。 【答疑编号：12010405】 解：设A1表示“从该厂的这种产品中任取一件产品为甲所生产”，A2表示“从该厂的这种产品中任取一件产品为乙所生产”，A3表示“从该厂的这种产品中任取一件产品为丙所生产”，B表示“从该厂的这种产品中任取一件为次品”，则
由全概率公式得 ＝30%×5%+35%×4%+35%×3%=3.95%
（3）贝叶斯公式：设随机试验的样本空间为Ω，B为任意一个事件，且P（B）>0，则
，
，?，
为样本空间Ω的一个划分，
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，i＝1，2，?，n.
注意：①在使用贝叶斯公式时，往往先利用全概公式计算P（B）； ②理解贝叶斯公式“后验概率”的意义. 例题11 P17 例1－28
【例1-28】在例1-25的假设下，若任取一件是废品，分别求它是由甲、乙、丙生产的概率。 【答疑编号：12010406】
解：由贝叶斯公式，
例题12 P17 例1－29
【例1-29】针对某种疾病进行一种化验，患该病的人中有90%呈阳性反应，而未患该病的人中有5%呈阳性反应，设人群中有1%的人患这种病，若某人做这种化验呈阳性反应，则他患这种疾病的概率是多少？
【答疑编号：12010407】
解：设A表示“某人患这种病”，B表示“化验呈阳性反应”，则 P（A）=0.01， 由全概率公式得
=0.01×0.9+0.99×0.55=0.0585 ，P（B|A）=0.9，
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再由贝叶斯公式得
§1.4 事件的独立性
1.事件的独立性
（1）概念：若P（AB）＝P（A）P（B），则称事件A与事件B相互独立，简称A，B独立。 解释：事件A，B相互独立的含义是：尽管A，B同时发生，事件A发生的概率对事件B发生的概率没有影响，如“两个同时射击的射击员击中靶子的环数”，“两个病人服用同一种药物的疗效”等。因此，在实际应用中，往往根据实际情况来判断事件的独立性，而不是根据定义。 （2）性质：① 设P（A）>0，则A与B相互独立的充分必要条件是
。
证明：
② 若A与B相互独立，则A与， 证明：
与B，与都相互独立。
只证，B相互独立 则只需证
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=P（B）-P（AB）
=P（B）-P（A）P（B） =P（B）[1-P（A）]
从而得证。 例题1.P19
【例1－30】两射手彼此独立地向同一目标射击。设甲射中目标的概率为0.9，乙射中目标的概率为0.8，求目标被击中的概率。 【答疑编号：11010501】 解
设A表示“甲射中目标”，B表示“乙射中目标”，C表示“目标被击中”，则C=A∪B。 P（C）=P（A∪B）
=P（A）+P（B）-P（AB） 由题意，A，B相互独立 ∴P（AB）=P（A）P（B）
=1-0.1×0.2=0.98
注：A，B相互独立时，概率加法公式可以简化为
。
例题2.P19
【例1－31】袋中有5个白球3个黑球，从中有放回地连续取两次，每次取一个球，求两次取出的都是白球的概率。
【答疑编号：11010502】
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解：设A表示“第一次取球取到白球”，B表示“第二次取球取到白球”，由于是有放回抽取，A与B是相互独立的。所求概率为 P（AB）=P（A）P（B）=×=
点评：
有放回：第一次不管抽取的是什么球，对第二次抽取没影响。显然，两次抽取是相互独立的。 不放回：第一次取到白球概率就是，第二次再取到白球的概率是。显然，两次抽取不是相互独立的。
注：如果是“有放回”，则两次取球就不是相互独立的。
（3）推广：① 3个事件相互独立：设A，B，C为3个事件，若满足
P（AB）＝P（A）P（B）， P（AC）＝P（A）P（C）， P（BC）＝P（B）P（C）， P（ABC）＝P（A）P（B）P（C）
则称A，B，C相互独立，简称A，B，C独立。
② 3个事件两两相互独立：设A，B，C为3个事件，若满足
P（AB）＝P（A）P（B）， P（AC）＝P（A）P（C）， P（BC）＝P（B）P（C）， 则称A，B，C两两相互独立。
显然，3事件相互独立必有3事件两两相互独立，反之未必。
③ n个事件相互独立：设A1，A2，?，An为n个事件，若对于任意整数k （1≤k≤n）和任意k个整数1≤i1< i2
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