第三章习题详解

1． 沿下列路线计算积分

?3?i0z2dz。

1) 自原点至3?i的直线段；

解：连接自原点至3?i的直线段的参数方程为：z??3?i?t 0?t?1 dz??3?i?dt

?3?i01?1?333z2dz???3?i?t2dt???3?i?t3???3?i?

0?3?03112) 自原点沿实轴至3，再由3铅直向上至3?i；

解：连接自原点沿实轴至3的参数方程为：z?t 0?t?1 dz?dt

?30zdz?2?301?1?tdt??t3??33

?3?03213连接自3铅直向上至3?i的参数方程为：z?3?it 0?t?1 dz?idt

?3?i311?13?3z2dz???3?it?idt???3?it????3?i??33

03?3?031213113133???? 3?3?i?3?3?i?00033333) 自原点沿虚轴至i，再由i沿水平方向向右至3?i。

解：连接自原点沿虚轴至i的参数方程为：z?it 0?t?1 dz?idt

??3?iz2dz?3t2dt???3?it?idt?2113?13?2 ?zdz???it?idt???it???i

00?3?03i121连接自i沿水平方向向右至3?i的参数方程为：z?t?i 0?t?1 dz?dt

?3?ii11?123?3z2dz???t?i?dt???t?i????1?i??i3

03?3?0311??3?i0z2dz??i0z2dz??23?iiz2dz?01311133i??1?i??i3??1?i? 333322． 分别沿y?x与y?x算出积分

22??x1?i?iy?dz的值。

解：?y?x ?x?iy?x?ix ?dz??1?i?dx

??1?i012???13?11??x2?iy?dz??1?i??0?x2?ix?dx??????1?ix?ix?1?i????i? ??32???0?32??1222212 ?y?x ?x?iy?x?ix??1?i?x ?dz??1?i2x?dx

???x1?i02?iy?dz??1?i??10?2???1?11?x2?1?i2x?dx???1?i??x3?ix4????1?i???i?

4??0?3?32??1 而?1?i??1115?11?11?i???i?i????i

2266?32?333． 设f?z?在单连通域B内处处解析，C为B内任何一条正向简单闭曲线。问Re?f?z??dz?0，

?C?Im?f?z??dz?0是否成立？如果成立，给出证明；如果不成立，举例说明。

C解：不成立。

例如：f?z??z，C：z?e

i?，0????

?Re?f?z??dz??C2?0cos?d?cos??isin????i

?Im?f?z??dz?C?2?0sin?d?cos??isin?????

4． 利用在单位圆上z?1的性质，及柯西积分公式说明?zdz?2?i，其中C为正向单位圆周z?1。 zC解：?z?11? ??zdz?zz?0C?C1dz?2?f?0??2?i z?05． 计算积分

?Czdz的值，其中C为正向圆周： z1) z?2；

i?解：在z?2上，z?2e 2) z?4

i??C?i?2?2e2?z2?dz??d?2ei????2id???i2??0?4?i

00z2解：在z?4上，z?4e

?C?i?2?4e2?z2?i???dz??d4e??4id???i4??0?8?i

00z46． 试用观察法得出下列积分的值，并说明观察时所依据的是什么？C是正向的圆周z?1。

1)

?Cdz z?2dz1?0 在C内解析，根据柯西—古萨定理，?z?2z?2C解：f?z??2)

?Cdz 2z?2z?411dz??0 在内解析，根据柯西—古萨定理，C2?z2?2z?4?z?2?2z?2z?4C解：f?z??3)

dz ?coszCdz1?0 在C内解析，根据柯西—古萨定理，?coszcoszC

解：f?z??4)

?Cdz1z?2解：f?z??1在C内解析，z0?dz1?1??2?if???2?i 在C内，?12?2?Cz?25)

?zeCzdz

zz解：f?z??ze在C内解析，根据柯西—古萨定理，zedz?0

?C6)

dz ?i??C?z???z?2?2??解：f?z??1i在C内解析，z0?在C内，??z?2?2C??z??dz1?i? ?2?if???2?iii??2?2???z?2?22?7． 沿指定曲线的正向计算下列各积分： 1)

?Cezdz，C：z?2?1 z?2zez解：z?2在C内，f?z??e在C解析，根据柯西积分公式：?dz?2?ie2

z?2C2)

?Cdz，C：z?a?a 22z?a解：z?a在C内，f?z??dz1?在C解析，根据柯西积分公式：?22z?az?aC?C1z?adz??i

z2?a23)

?C3eiz，： z?2i?Cdz2z2?1eizeiz解：z?i在C内，f?z??在C解析，根据柯西积分公式：?2dz?z?iCz?1?Ceizz?idz?? z?ie4)

?Czdz，C：z?2 z?3zzdz?0 在C解析，根据柯西—古萨定理：?z?3z?3C解：z?3不在C内，f?z??5)

dz，C：z?r?1 23?????Cz?1z?1dz1?0 在解析，根据柯西—古萨定理：C23??????z2?1??z3?1?z?1z?1C解：f?z??6)

?zC3coszdz，C：为包围z?0的闭曲线

33解：f?z??zcosz在C解析，根据柯西—古萨定理：zcoszdz?0

?C7)

dz3，： z?C22?????z?1z?42Cdz1在解析，根据柯西积分公式： C222??????z?i??z?4?Cz?1z?4解：z?i在C内，f?z??8)

sinzdz，C：z?1 ?zCsinzdz?2?isin0?0 ?zC解：z?0在C内，f?z??sinz在C解析，根据柯西积分公式：

9)

??Csinz2???z??2???2dz，C：z?2

解：z?在C内，f?z??sinz在C解析，根据高阶导数公式：

??Csinz2??z???2??dz?2?isin'?2?0

ez10) ?5dz，C：z?1

Czez2?i?4?2?i解：z?0在C内，f?z??e在C解析，根据高阶导数公式：?5dz? f?0??4!4!zCz8． 计算下列各题： 1)

??e?i3?i2zdz

1?12z?2z解：?edz??e???e6?i?e?2?i??0

??i?2???i23?i3?i2)

??0ich3zdz；

061???i?1?解：??ch3zdz??sh3z???0?shi???

i2?3?3??i3?6063)

??sin?i?i2zdz；

?i?i1?cos2z1i?1?解：?sinzdz??dz???2?i?sin2z???i?sh2?

??i??i242?2???i?i24)

?10zsinzdz；

zsinzdz???zdcosz???zcosz???coszdz??cos1?sin1

010011解：5)

?i10?z??z?iedz； ?0?z?z????z?iedz??z?ide?0?0ii解：

???z?i?e?z????eii00?zdz??1?i?e?i?e?i?ie?i

6)

1?tgz。 ?1cos2zdz（沿1到i的直线段）

ii1?tgz12?1212???解：?dz?1?tgzdtgz?tgz?tgz?tgi?tgi?tg1?tg1 ?1??1cos2z222??1ii9． 计算下列积分： 1)

3??4?（其中C：z?4为正向）； ??dz，?z?1z?2i?C?3??4??dz??z?1z?2i?C?解：??C43dz??dz?2?i?4?3??14?i z?1z?2iC2)

?C2idz，（其中C：z?1?6为正向）； z2?12i2i解：?2dz??dz???z?i??z?i?Cz?1CC3)

2i?2i2i?z?i?dz??z?i?dz?2?i????0 ?????z?i??z?i?C?z?iz?iz?iz??i?2icosz（其中C1：z?2为正向，C2：z?3为负向）； dz，3?zC?C1?C2coszcosz在所给区域是解析的，根据复合闭路定理：dz?0 33?zC?C1?C2z解：f?z??