复变函数习题答案第3章习题详解 下载本文

第三章习题详解

1. 沿下列路线计算积分

?3?i0z2dz。

1) 自原点至3?i的直线段;

解:连接自原点至3?i的直线段的参数方程为:z??3?i?t 0?t?1 dz??3?i?dt

?3?i01?1?333z2dz???3?i?t2dt???3?i?t3???3?i?

0?3?03112) 自原点沿实轴至3,再由3铅直向上至3?i;

解:连接自原点沿实轴至3的参数方程为:z?t 0?t?1 dz?dt

?30zdz?2?301?1?tdt??t3??33

?3?03213连接自3铅直向上至3?i的参数方程为:z?3?it 0?t?1 dz?idt

?3?i311?13?3z2dz???3?it?idt???3?it????3?i??33

03?3?031213113133???? 3?3?i?3?3?i?00033333) 自原点沿虚轴至i,再由i沿水平方向向右至3?i。

解:连接自原点沿虚轴至i的参数方程为:z?it 0?t?1 dz?idt

??3?iz2dz?3t2dt???3?it?idt?2113?13?2 ?zdz???it?idt???it???i

00?3?03i121连接自i沿水平方向向右至3?i的参数方程为:z?t?i 0?t?1 dz?dt

?3?ii11?123?3z2dz???t?i?dt???t?i????1?i??i3

03?3?0311??3?i0z2dz??i0z2dz??23?iiz2dz?01311133i??1?i??i3??1?i? 333322. 分别沿y?x与y?x算出积分

22??x1?i?iy?dz的值。

解:?y?x ?x?iy?x?ix ?dz??1?i?dx

??1?i012???13?11??x2?iy?dz??1?i??0?x2?ix?dx??????1?ix?ix?1?i????i? ??32???0?32??1222212 ?y?x ?x?iy?x?ix??1?i?x ?dz??1?i2x?dx

???x1?i02?iy?dz??1?i??10?2???1?11?x2?1?i2x?dx???1?i??x3?ix4????1?i???i?

4??0?3?32??1 而?1?i??1115?11?11?i???i?i????i

2266?32?333. 设f?z?在单连通域B内处处解析,C为B内任何一条正向简单闭曲线。问Re?f?z??dz?0,

?C?Im?f?z??dz?0是否成立?如果成立,给出证明;如果不成立,举例说明。

C解:不成立。

例如:f?z??z,C:z?e

i?,0????

?Re?f?z??dz??C2?0cos?d?cos??isin????i

?Im?f?z??dz?C?2?0sin?d?cos??isin?????

4. 利用在单位圆上z?1的性质,及柯西积分公式说明?zdz?2?i,其中C为正向单位圆周z?1。 zC解:?z?11? ??zdz?zz?0C?C1dz?2?f?0??2?i z?05. 计算积分

?Czdz的值,其中C为正向圆周: z1) z?2;

i?解:在z?2上,z?2e 2) z?4

i??C?i?2?2e2?z2?dz??d?2ei????2id???i2??0?4?i

00z2解:在z?4上,z?4e

?C?i?2?4e2?z2?i???dz??d4e??4id???i4??0?8?i

00z46. 试用观察法得出下列积分的值,并说明观察时所依据的是什么?C是正向的圆周z?1。

1)

?Cdz z?2dz1?0 在C内解析,根据柯西—古萨定理,?z?2z?2C解:f?z??2)

?Cdz 2z?2z?411dz??0 在内解析,根据柯西—古萨定理,C2?z2?2z?4?z?2?2z?2z?4C解:f?z??3)

dz ?coszCdz1?0 在C内解析,根据柯西—古萨定理,?coszcoszC

解:f?z??4)

?Cdz1z?2解:f?z??1在C内解析,z0?dz1?1??2?if???2?i 在C内,?12?2?Cz?25)

?zeCzdz

zz解:f?z??ze在C内解析,根据柯西—古萨定理,zedz?0

?C6)

dz ?i??C?z???z?2?2??解:f?z??1i在C内解析,z0?在C内,??z?2?2C??z??dz1?i? ?2?if???2?iii??2?2???z?2?22?7. 沿指定曲线的正向计算下列各积分: 1)

?Cezdz,C:z?2?1 z?2zez解:z?2在C内,f?z??e在C解析,根据柯西积分公式:?dz?2?ie2

z?2C2)

?Cdz,C:z?a?a 22z?a解:z?a在C内,f?z??dz1?在C解析,根据柯西积分公式:?22z?az?aC?C1z?adz??i

z2?a23)

?C3eiz,: z?2i?Cdz2z2?1eizeiz解:z?i在C内,f?z??在C解析,根据柯西积分公式:?2dz?z?iCz?1?Ceizz?idz?? z?ie4)

?Czdz,C:z?2 z?3zzdz?0 在C解析,根据柯西—古萨定理:?z?3z?3C解:z?3不在C内,f?z??5)

dz,C:z?r?1 23?????Cz?1z?1dz1?0 在解析,根据柯西—古萨定理:C23??????z2?1??z3?1?z?1z?1C解:f?z??6)

?zC3coszdz,C:为包围z?0的闭曲线

33解:f?z??zcosz在C解析,根据柯西—古萨定理:zcoszdz?0

?C7)

dz3,: z?C22?????z?1z?42Cdz1在解析,根据柯西积分公式: C222??????z?i??z?4?Cz?1z?4解:z?i在C内,f?z??8)

sinzdz,C:z?1 ?zCsinzdz?2?isin0?0 ?zC解:z?0在C内,f?z??sinz在C解析,根据柯西积分公式:

9)

??Csinz2???z??2???2dz,C:z?2

解:z?在C内,f?z??sinz在C解析,根据高阶导数公式:

??Csinz2??z???2??dz?2?isin'?2?0

ez10) ?5dz,C:z?1

Czez2?i?4?2?i解:z?0在C内,f?z??e在C解析,根据高阶导数公式:?5dz? f?0??4!4!zCz8. 计算下列各题: 1)

??e?i3?i2zdz

1?12z?2z解:?edz??e???e6?i?e?2?i??0

??i?2???i23?i3?i2)

??0ich3zdz;

061???i?1?解:??ch3zdz??sh3z???0?shi???

i2?3?3??i3?6063)

??sin?i?i2zdz;

?i?i1?cos2z1i?1?解:?sinzdz??dz???2?i?sin2z???i?sh2?

??i??i242?2???i?i24)

?10zsinzdz;

zsinzdz???zdcosz???zcosz???coszdz??cos1?sin1

010011解:5)

?i10?z??z?iedz; ?0?z?z????z?iedz??z?ide?0?0ii解:

???z?i?e?z????eii00?zdz??1?i?e?i?e?i?ie?i

6)

1?tgz。 ?1cos2zdz(沿1到i的直线段)

ii1?tgz12?1212???解:?dz?1?tgzdtgz?tgz?tgz?tgi?tgi?tg1?tg1 ?1??1cos2z222??1ii9. 计算下列积分: 1)

3??4?(其中C:z?4为正向); ??dz,?z?1z?2i?C?3??4??dz??z?1z?2i?C?解:??C43dz??dz?2?i?4?3??14?i z?1z?2iC2)

?C2idz,(其中C:z?1?6为正向); z2?12i2i解:?2dz??dz???z?i??z?i?Cz?1CC3)

2i?2i2i?z?i?dz??z?i?dz?2?i????0 ?????z?i??z?i?C?z?iz?iz?iz??i?2icosz(其中C1:z?2为正向,C2:z?3为负向); dz,3?zC?C1?C2coszcosz在所给区域是解析的,根据复合闭路定理:dz?0 33?zC?C1?C2z解:f?z??