4)

?Cdz16，C：z?1（其中C为以?，?i为顶点的正向菱形）； z?i52dz1?2?i 有一孤立奇点，由柯西积分公式：?z?iz?iC解：在所给区域内，f?z??ez5) ?（其中a为a?1的任何复数，C：z?1为正向）。 dz，3C?z?a?ezez解：当z?a，f?z??在所给区域内解析，根据柯西—古萨基本定理：?dz?0 33?z?a?C?z?a?ez2?ia 当z?a，f?z??e在所给区域内解析，根据高阶导数公式：?dz?e?ea?i 32!C?z?a?z10． 证明：当C为任何不通过原点的简单闭曲线时，

?C1dz?0。 z2证明：当C所围成的区域不含原点时，根据柯西—古萨基本定理：

?C1dz?0； z2 当C所围成的区域含原点时，根据高阶导数公式：

?C1'?0??0； dz?2?if2z11． 下列两个积分的值是否相等？积分2)的值能否利用闭路变形原理从1)的值得到？为什么？ 1)

zdz ?zz?2zdz ?zz?42)

zdz?解：1）?zz?2?2?02e?i?2iei?d??0； 2）i?2ezdz??zz?4?2?04e?i?4iei?d??0 i?4ez在z 由此可见，1）和2）的积分值相等。但2）的值不能利用闭路变形原理从1）得到。因为f?z??复平面上处处不解析。

12． 设区域D为右半平面，z为D内圆周z?1上的任意一点，用在D内的任意一条曲线C连接原点与

?z1??z，证明Re??d???4。[提示：可取从原点沿实轴到1，再从1沿圆周z?1到z的曲线01??2??作为C。

z11证明：因为f????在内解析，故积分D?01??2d?与路径无关，取从原点沿实轴到1，再从11??2沿圆周z?1到z的曲线作为C，则：

?z01d??21????11iei?1i??01?x2dx??01?e2i?de?arctgx0??01?e2i?d? 1 ??4?i??0??z1??1? d???i2sec?d??Red?? ???i?i??2?004e?e?1???413． 设C1和C2为相交于M、N两点的简单闭曲线，它们所围的区域分别为B1与B2。B1与B2的公共

C2上也解析，部分为B。如果f?z?在B1?B与B2?B内解析，在C1、证明：f?z?dz?C1?C2 ?f?z?dz。

证明：如图所示，f?z?在B1?B与B2?B内解析，在C1、C2上也解析，由柯西—古萨基本定理有：

NOMP1N?f?z?dz?0?f?z?dz?0??f?z?dz??f?z?dz

MRNP2MNOMP1NMRNP2M?NOM?f?z?dz??f?z?dz??f?z?dz??f?z?dz

MP1NMRNNP2M?NOM?f?z?dz??f?z?dz??f?z?dz??f?z?dz

NP2MMRNMP1N?NOM?f?z?dz??f?z?dz??f?z?dz??f?z?dz ? ?f?z?dz??f?z?dz

MP2NMRNNP1MC2C114． 设C为不经过?与??的正向简单闭曲线，?为不等于零的任何复数，试就?与??跟C的不同位

置，计算积分

?Czdz的值。 22z??解：分四种情况讨论：

1） 如果?与??都在C的外部，则f?z??z在C内解析，柯西—古萨基本定理有

z2??2?Czdz?0

z2??22） 如果?与??都在C的内部，由柯西积分公式有

?Czdz??22z??Cz?z???dz??z???dz?2?i???????2?i

????z?????z???????????Cz在C内解析，由柯西积分公式有 z??z3） 如果?在C的内部，??都在C的外部，则f?z???Czdz??22z??Cz?z???dz?2?i???i

?z??????z在C内解析，由柯西积分公式有 z??4） 如果?在C的外部，??都在C的内部，则f?z???Czdz??22z??Cz?z???dz?2?i????i

?z???????15． 设C1与C2为两条互不包含，也不相交的正向简单闭曲线，证明

21?z2sinz??z0，当z0在C1内时，dz??dz??? ??2?i?z?zz?z?00C2?C1??sinz0，当z0在C2内时。证明：因为C1与C2为两条互不包含，也不相交，故C1与C2只有相离的

位置关系，如图所所示。 1） 当z0在C1内时，f?z??sinz在C2内解析，根据柯西—古萨基本定理以及柯西积分公式： z?z01?z2sinz?1dz??dz??2?iz2??2?i?z?z0?C2?C1z?z0?2?i?z?z02?0?z0

?z22） 当z0在C2内时，f?z??在C1内解析，根据柯西—古萨基本定理以及柯西积分公式：

z?z01?z2sinz?1dz??dz??0?2?isinzz?z?sinz0 ??02?i?z?zz?z2?i?00C2?C1???21?z2sinz??z0，当z0在C1内时，?dz??dz??? ??2?i?z?z0?C2?C1z?z0??sinz0，当z0在C2内时。16． 设函数f?z?在0?z?1内解析，且沿任何圆周C：z?r，0?r?1的积分等于零，问f?z?是否

必需在z?0处解析？试举例说明之。 解：不一定。例如：f?z??1在z?0处不解析，但2z1dz?0。 2?z?r?1z17． 设f?z?与g?z?在区域D内处处解析，C为D内的任何一条简单闭曲线，它的内部全含于D。如果

f?z??g?z?在C上所有的点处成立，试证在C内所有的点处f?z??g?z?也成立。

证明：设z是C内任意一点，因为f?z?与g?z?在C及C内解析，由柯西积分公式有： f?z??1f???1g?????d?gz?d? ，?2?i???z2?i??zCC 又f????g???在C上所有的点处成立，故有： 即f?z??g?z?在C内所有的点处成立。

f???g???d??d? ????z??zCC18． 设区域D是圆环域，f?z?在D内解析，以圆环的中心为中心作正向圆周K1与K2，K2包含K1，z0为K1，K2之间任一点，试证?3.14?仍成立，但C要换成K1?K2。

?证明：

19． 设f?z?在单连通域B内处处解析，且不为零，C为B内任何一条简单闭曲线。问积分

否等于零？为什么？

解：因为f?z?在单连通域B内处处解析且不为零，又解析函数f?z?的导数f'?Cf'?z?dz是

f?z??z?仍然是解析函数，故

f'?z?f'?z?在B内处处解析。根据柯西—古萨基本定理，有?dz?0 f?z?f?z?C20． 试说明柯西—古萨基本定理中的C为什么可以不是简单闭曲线？

解：如C不是简单闭曲线，将C分为几个简单闭曲线的和。如C?C1?C2，则C1，C2是简单闭曲线。

?f?z?dz??f?z?dz??f?z?dz?0?0?0

CC1C221． 设f?z?在区域D内解析，C为D内的任意一条正向简单闭曲线，证明：在对D内但不在C上的任

f'?z?f?z?意一点z0，等式?dz??dz成立。 2z?z0CC?z?z0?证明：分两种情况：

f?z?f'?z?f?z?f'?z?1） 如果z0在C的外部，和在C内解析，故?dz??dz?0 2z?z0z?zz?z00CC?z?z0?2） 如果z0在C的内部，在C内解析的函数f?z?，其导函数f'?z?仍是C内的解析函数，根据柯

f'?z?西积分公式有：?dz?2?if'?z?z?z?2?if'?z0?

0z?z0C由高阶导数公式有：

f?z?''???z0? dz?2?ifz?2?if2?z?z0C?z?z0?f'?z?f?z???dz??dz 2z?z0CC?z?z0?22． 如果??x,y?和??x,y?都具有二阶连续偏导数，且适合拉普拉斯方程，而s??y??x，

t??x??y，那末s?it是x?iy的解析函数。

证明：?s??y??x ??s?s??yy??xy ??yx??xx，?y?x?t?t??xy??yy ??xx??yx，?y?xyx。

?t??x??y ?又??x,y?和??x,y?都具有二阶连续偏导数，所以混合偏导相等，即?yx??xy，?xy????x,y?和??x,y?满足拉普拉斯方程：?xx??yy?0，?xx??yy?0

??s?t?s?t??yx??xx???yy??xy??， ?x?y?y?x故s?it是x?iy的解析函数。 23． 设u为区域D内的调和函数及f??u?u?i，问f是不是D内的解析函数？为什么？ ?x?y解：设f?s?it，则s??u?u，t??

?y?x?s???u??2u?s???u??2u?? ， ??????2?x?x??x??x?y?y??x??y?x?t???u??2u?t???u??2u??? ?????x?y，?y??y????y?????y2 ?x?x??y???? 因为u为区域D内的调和函数，具有二阶连续偏导且满足拉普拉斯方程 ??s?t?s?t??? ? f是D内的解析函数。 ，?x?y?y?x24． 函数v?x?y是v?x?y的共轭调和函数吗？为什么？ 解：??u?v?u?v?u?v?u?v?1，?1 ????， ?1，?1，?y?y?x?y?y?x?x?x 故函数v?x?y不是v?x?y的共轭调和函数。

25． 设u和v都是调和函数，如果v是u的共轭调和函数，那末u也是v的共轭调和函数。这句话对吗？

为什么？ 解：这句话不对。

如果v是u的共轭调和函数，则f?z??u?iv是解析函数，满足柯西—黎曼方程：

?u?v?u?v?v?u???u??v?u???u??????????， ? ， ?x?y?y?x?x?y?y?y?x?x