即?u是v的共轭调和函数，u就不是v的共轭调和函数。 26． 证明：一对共轭调和函数的乘积仍为调和函数。 证明：

27． 如果f?z??u?iv是一解析函数，试证： 1) if?z?也是解析函数； 证明：

2) ?u是v的共轭调和函数； 证明： 3)

?2f?z??x22??2f?z??y22?4?u?v2x2x??4f?z?'2。

证明：

28． 证明；u?x?y和v?22y都是调和函数，但是u?iv不是解析函数。 22x?y证明 29． 求具有下列形式的所有调和函数u： 1) u?f?ax?by?，a与b为常数； 解： 2) u?f?解：

30． 由下列各已知调和函数求解析函数f?z??u?iv。 1) u??x?y?x?4xy?y2y?y?\??u?u?0ft?0。[提示：1)l令，因，从而有；2)令。] t?ax?byt??xxyyx?x??2?；

解： 2) v?解：

3) u?2?x?1?y，f?2???i； 解： 4) v?arctg解： 31． 设v?e解：

32． 如果u?x,y?是区域D内的调和函数，C为D内以z0为中心的任何一个正向圆周：z?z0?r，它

pxy，f?2??0；

x2?y2y，x?0。 xsiny，求p的值使v为调和函数，并求出解析函数f?z??u?iv。

的内部全含于D。试证：[提示：利用平均值公式?3.5.3?。] 1) u?x,y?在

?x0,y0?12?的值等于

u?x,y?在圆周C上的平均值，即

u?x0,y0??证明： 2) u?x,y?在

?2?0u?x0?rcos?,y0?rsin??d?；

的值等于u?x,y?，在圆域z?z0?r0上的平均值，即

?x0,y0?1u?x0,y0??2?r0证明：

??0r02?0u?x0?rcos?,y0?rsin??rd?dr。

33． 如果f?z??u?iv在区域D内处处解析，C为D的正向圆周：z?R，它的内部全含于D。设z为

2f???zf???~R，试证?d??d??0。 C内一点，并令z??~2z??z?z?RCC证明： 34． 根

据柯西积分公式与习题33的结果，证明

?1?1z1R2?zzf???f?z???2d?，其中C为z?R。 ??f???d???22?i???z2?iR??z?C?C???z?R??z????证明：

z?rei?，35． 如果令??Re，验证

i?d?id??。??222?????z?R??z???z???zR?2Rrcos????rd?????1并由34题的结果，证明f?z??2?1u?x,y??u?rcos?,rsin???2??2?0?r2?f?Rei??d?。取其实部，得

R2?2Rrcos??????r22?R?2??R0?r2?u?rcos?,rsin??d?。这个积分称为泊松积分。通22R?2Rrcos??????r2过这个积分，一个调和函数在一个圆内的值可用它在圆周上的值来表示。 证明：

36． 设f?z?在简单闭曲线C内及C上解析，且不恒为常数，n为正整数 1) 试用柯西积分公式证明：?f?z??证明：

2) 设M为f???在C上的最大值，L为C的长，d为z到C的最短距离，试用积分估值公式?3.1.10?于1)中的等式，证明不等式：f?z??M?n1?f?????d?。 ?2?iC??zn?L??。 ?2?d?1n证明：

3) 令n???，对2)中的不等式取极限，证明：f?z??M，这个结论表明：在闭区域内不恒为常数的解析函数的模的最大值只能在区域的边界上取得（最大模原理）。 证明：