21．（本题满分14分）本题共2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分
y22双曲线x?2?1(b?0)的左、右焦点分别为F1、F2，直线l过F2且与双曲线交于A,B两
b点
?，?F1AB是等边三角形，求双曲线的渐近线方程 2????????????(2) 设b?3，若l的斜率存在，且(F1A?F1B)?AB?0，求l的斜率
(1) 若l的倾斜角为
【解析】(1)由已知F1(?b2?1,0), F2(b2?1,0)
取x?b2?1，得y?b2
F1F2?3F2A
2∵F1F2?2b2?1, F2A?b
∴2b2?1?3b2
即3b4?4b2?4?(3b2?2)(b2?2)?0 ∴b?2 ∴渐近线方程为y??2x
y2?1 (2)若b?3，则双曲线为x?3∴F1(?2,0), F2(2,0)
设A(x1,y1), B(x2,y2)，则 ????????????, , F1A?(x1?2,y1)F1B?(x2?2,y2)AB?(x2?x1,y2?y1)
????????∴F1A?F1B?(x1?x2?4,y1?y2) ????????????22(F1A?F1B)?AB?x2?x12?4(x2?x1)?y2?y12?0 (*)
22y12y22?x2??1 ∵x?3322?y12?3(x2?x12) ∴y2212?x12)?4(x2?x1)?0 ∴代入(*)式，可得4(x2直线l的斜率存在，故x1?x2 ∴x1?x2??1
设直线l为y?k(x?2)，代入3x2?y2?3 得(3?k2)x2?4k2x?(4k2?3)?0
∴3?k2?0，且??16k4?4(3?k2)(4k2?3)?36(k2?1)?0
4k2x1?x2????1
3?k232∴k?
515∴k?? 515∴直线l的斜率为?
5 22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小
- 6 -
题满分6分
1已知a?R，函数f(x)?log2(?a)
x(1) 当a?5时，解不等式f(x)?0
(2) 若关于x的方程f(x)?log2[(a?4)x?2a?5]?0的解集中恰有一个元素，求a的取值范围
1(3) 设a?0，若对任意t?[,1]，函数f(x)在区间[t,t?1]上的最大值和最小值的差不
2超过1，求a
的取值范围
114x?1?0?x(4x?1)?0 【解析】(1)log2(?5)?0??5?1?xxx1∴不等式的解为{x|x?0或x??}
41(2)依题意，log2(?a)?log2[(a?4)x?2a?5]
x1∴?a?(a?4)x?2a?5?0 ① x可得(a?4)x2?(a?5)x?1?0 即(x?1)[(a?4)x?1]?0 ②
当a?4时，方程②的解为x??1，代入①式，成立 当a?3时，方程②的解为x??1，代入①式，成立
1当a?3且a?4时，方程②的解为x??1,
a?41若x??1为方程①的解，则?a?a?1?0，即a?1
x11若x?为方程①的解，则?a?2a?4?0，即a?2
a?4x要使得方程①有且仅有一个解，则1?a?2 综上，若原方程的解集有且只有一个元素，则a的取值范围为1?a?2或a?3或a?4 (3)f(x)在[t,t?1]上单调递减 依题意，f(t)?f(t?1)?1
11?a)?1 即log2(?a)?log2(tt?1121?t11??a)，即a??∴?a?2( tt?1t(t?1)tt?11设1?t?r，则r?[0,]
21?trr??2 t(t?1)(1?r)(2?r)r?3r?2r?0 当r?0时，2r?3r?2r11?2当0?r?时，r2?3r?2 r??32r2∵函数y?x?在(0,2)递减
x219∴r???4?
r22
- 7 -
112??29∴ r??3?33r22∴a的取值范围为a?
3 23．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小
题满分8分
若无穷数列?an?满足：只要ap?aq(p,q?N*)，必有ap?1?aq?1，则称?an?具有性质P. (1) 若?an?具有性质P. 且a1?1, a2?2, a4?3, a5?2, a6?a7?a8?21，求a3； (2) 若无穷数列?bn?是等差数列，无穷数列?cn?是公比为正数的等比数列，b1?c5?1，b5?c1?81，
an?bn?cn，判断?an?是否具有性质P，并说明理由；
(3) 设?bn?是无穷数列，已知an?1?bn?sinan(n?N*)，求证：“对任意a1，?an?都具有性质P”的充要条
件为“?bn?是常数列”. 【解析】(1) a2?a5?2
∴a3?a6 ∴a4?a7?3
∴a5?a8?2
∴a6?21?a7?a8?16
∴a3?16
(2)设?bn?的公差为d，?cn?的公差为q，则q?0 b5?b1?4d?80 ∴d?20
∴bn?20n?19 c51?q4? c1811∴q?
31n?5∴cn?()
31n?5∴an?bn?cn?20n?19?()
3∵a1?82, a5?82
1304而a2?21?27?48, a6?101??
33a1?a5但a2?a6
故?an?不具有性质P
(3) 充分性：若?bn?为常数列，设bn?C 则an?1?C?sinan
若存在p,q使得ap?aq，
则ap?1?C?sinap?C?sinaq?aq?1, 故?an?具有性质P
- 8 -
必要性：若对任意a1，?an?具有性质P 则a2?b1?sina1
设函数f(x)?x?b1, g(x)?sinx
由f(x),g(x)图像可得，对任意的b1，二者图像必有一个交点 ∴一定能找到一个a1，使得a1?b1?sina1 ∴a2?b1?sina1?a1 ∴an?an?1
故bn?1?an?2?sinan?1?an?1?sinan?bn ∴?bn?是常数列
- 9 -