专题01 坐标系

知识通关

1．平面直角坐标系中的伸缩变换

?x???x(??0)设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换?:?的作用下，点P(x,y)对应到

?y??y(??0)?点P?(x?,y?)，称?为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换. 2．极坐标系的概念

（1）极坐标系：在平面上取一个定点O叫做极点；自点O引一条射线Ox叫做极轴；再选定一个长度单位、角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向为正方向)，这样就建立了一个极坐标系(如图)．

（2）极坐标：设M是平面上的任一点，极点O与点M的距离|OM|叫做点M的极径，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的∠xOM叫做点M的极角，记为θ.有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．

3．直角坐标与极坐标的互化

把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位．如图，设Mρ＝x＋y，????x＝ρcos θ，

y 是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则?或??y＝ρsin θ??tan θ(x≠0).＝x?

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4．圆的极坐标方程

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圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r的圆的极坐标方程为ρ－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ0－r＝0.

几个特殊位置的圆的极坐标方程：

(1)如图，圆心在极点，半径为r：ρ＝r(0???2π)；

(2)如图，圆心为M(r,0)，半径为r：ρ＝2rcosθ(?ππ???)； 22

(3)如图，圆心为M(r,)，半径为r：ρ＝2rsinθ(0???π).

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5．直线的极坐标方程

若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ－α)＝ρ0sin (θ0－α)． 几个特殊位置的直线的极坐标方程：

(1)如图，直线过极点，且极轴到此直线的角为α：θ＝α和θ＝π+α(ρ∈R)；

(2)如图，直线过点M(a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a(?ππ???)； 22

(3)如图，直线过M(b,)且平行于极轴：ρsin θ＝b(0???π).

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基础通关

1．理解坐标系的作用，了解在平面直角坐标系伸缩变换作用下平面图形的变化情况.

2．了解极坐标的基本概念，会在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，能进行极坐标和直角坐标的互化. 3．能在极坐标系中给出简单图形表示的极坐标方程． 题组一 平面直角坐标系中的伸缩变换

解答该类问题应明确两点：一是根据平面直角坐标系中的伸缩变换公式的意义与作用；二是明确变换前的点P(x，y)与变换后的点P′(x′，y′)的坐标关系，利用方程思想求解．

?x′＝3x，?

【例1】在平面直角坐标系中，已知伸缩变换φ：???2y′＝y.

（1）求点A(,?2)经过φ变换所得点A′的坐标； （2）求直线l：y＝6x经过φ变换后所得直线l′的方程．

13??x′＝3x，??

??y【解析】（1）设点A′(x′，y′)，由伸缩变换φ：?得2y′y＝，???y′＝2，

x′＝3x，

－21

3＝1，y′＝2＝－1. ∴x′＝3×∴点A′的坐标为(1，－1).

（2）设P′(x′，y′)是直线l′上任意一点．

???x＝3，?x′＝3x，

??由伸缩变换φ：??2y′＝y，得?

x′

?y＝2y′，

x′

代入y＝6x，得2y′＝6·3＝2x′，

∴y′＝x′，

故y=x即为所求直线l′的方程. 题组二 极坐标和直角坐标的互化

?x??cos?一是坐标点的互化，极坐标的点化为直角坐标的点较简单，代入公式?即可，直角坐标化

y??sin????2?x2?y2?极坐标利用公式?即可，要注意ρ、θ的取值范围； y?tan??(x?0)x?