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临沂市高三二轮会材料

函数导数中的恒成立问题解题技巧

函数导数中的恒成立问题解题技巧

新课标下的高考越来越重视考查知识的综合应用，恒成立问题涉及方程、不等式、函数性质与图象及它们之间的综合应用，同时渗透换元、转化与化归、数形结合、函数与方程等思想方法，考查综合解题能力，尤其是在函数、导数中体现的更为明显，也是历年高考的热点问题,根据本人的体会，恒成立问题主要有以下几种.

一、利用函数的性质解决恒成立问题

例1 已知函数f(x)?x3?(1?a)x2?a(a?2)x?b (a,b?R)．

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(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率是?3，求a,b的值； (2)若函数f(x)在区间(?1,1)上不单调，求a的取值范围． ．．．解：(1)由题意得f?(x)?3x2?2(1?a)x?a(a?2)

f(0)?b?0? 又? ，解得b?0，a??3或a?1

?f(0)??a(a?2)??3? (2)函数f(x)在区间(?1,1)不单调，等价于

导函数f?(x)在(?1,1)既能取到大于0的实数，又能取到小于0的实数 即函数f?(x)在(?1,1)上存在零点，根据零点存在定理，有

f?(?1)f?(1)?0， 即：[3?2(1?a)?a(a?2)][3?2(1?a)?a(a?2)]?0 整理得：(a?5)(a?1)(a?1)2?0，解得?5?a??1 所以a的取值范围是?a?5?a??1?.

【方法点评】利用函数的性质解决恒成立问题，主要是函数单调性的应用，函数在给定的区间上不单调意味着导函数在给定的区间上有零点，利用函数零点的存在性定理即可解决问题.

二、利用数形结合思想解决恒成立问题

例2 已知x?3是函数f?x??aln?1?x??x2?10x的一个极值点．

（1）求a；

（2）求函数f?x?的单调区间；

（3）若直线y?b与函数y?f?x?的图象有3个交点，求b的取值范围． 【方法指导】（1）在极值点处导数为零，可以求a的值；（2）求函数的单调区间借助f?(x)?0可以求出单调递增区间，f?(x)?0可以求出单调递减区间；（3）根据函数f(x)的单调性可以求出其极大值和极小值，画出图象，数形结合可以求出b的取值范围. 解：（1）因为f'?x??aa?2x?10，所以f'?3???6?10?0，因此a?16． 1?x4（2）由（1）知，f?x??16ln?1?x??x2?10x,x???1,???，f'?x??当x???1,1?2?x2?4x?3?1?x

?3,???时，f'?x??0；当x??1,3?时，f'?x??0．

所以f?x?的单调增区间是??1,1?,?3,???，f?x?的单调减区间是?1,3?．

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（3）由（2）知，f?x?在??1,1?内单调增加，在?1,3?内单调减少，在?3,???上单调增加，且当x?1或x?3时，f'?x??0

所以f?x?的极大值为f?1??16ln2?9，极小值为f?3??32ln2?21 因此f?16??162?10?16?16ln2?9?f?1?

f?e?2?1???32?11??21?f?3?

所以在f?x?的三个单调区间??1,1???,1,?3?,?3,?直线

y?b有y?f?x?的图象各有一个交点，当且仅当f?3??b?f?1?

因此，b的取值范围为?32ln2?21,16ln2?9?．

【方法点评】数形结合是高中数学中常考的思想方法之一，在有关取值范围问题、单调性问题、最值问题中体现较明显，同时方程的根及函数零点也可转化为交点问题解决.

三、分离参数解决恒成立问题

a例3 已知函数f(x)?lnx?，

x(1)当a?0时，判断f(x)在定义域上的单调性； (2)若f(x)?x2在(1,??)上恒成立，求a的取值范围．

【方法指导】（1）通过判断导数的符号解决；（2）由于参数a是“孤立”的，可以分离参数后转化为一个函数的单调性或最值等解决．

1ax?a解：(1)由题意：f(x)的定义域为(0,??)，且f?(x)??2?2．

xxxa?0,?f?(x)?0，故f(x)在(0,??)上是单调递增函数．

(2)?f(x)?x2,?lnx?3a?x2.又x?0,?a?xlnx?x3 x211?6x2 令g(x)?xlnx?x,h(x)?g?(x)?1?lnx?3x,h?(x)??6x?，

xxh(x)在[1,??)上是减函数，?h(x)?h(1)??2，即g?(x)?0， ?g(x)在[1,??)上也是减函数，?g(x)?g(1)??1．

令a??1得a?g(x)，

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