2019年高考数学一轮复习：空间向量及其加减、数乘和数量积运算
空间向量及其加减、数乘和数量积运算
1．空间向量的有关概念
(1)空间向量：在空间，我们把具有________和________的量叫做空间向量．
(2)零向量：规定______________的向量叫做零向量．
(3)单位向量：________的向量称为单位向量． (4)相反向量：与向量a__________________的向量，称为a的相反向量，记为－a.
(5)相等向量：________________的向量称为相等向量．
(6)空间向量的加法运算满足交换律及结合律： a＋b＝________；(a＋b)＋c＝______________． 2．空间向量的数乘运算
(1)向量的数乘：实数λ与空间向量a的乘积λa仍然是一个向量，称为向量的数乘．
①当λ____0时，λa与向量a方向相同； 当λ____0时，λa与向量a方向相反． ②λa的长度是向量a的长度的______倍． (2)空间向量的数乘运算满足分配律及结合律： ①分配律：λ(a＋b)＝____________． ②结合律：λ(μa)＝________．
(3)共线向量：如果表示空间向量的有向线段所在的直线________________，则这些向量叫做共线向量或平行向量．
(4)共线向量定理：对空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是____________________．
(5)空间直线l的方向向量：和直线l________的非零向量a叫做直线l的方向向量．
(6)空间直线的向量表示：l为经过已知点A且平行于已知非零向量a的直线，对空间任意一点O，点P在直线l上的充要条件是_____________________，特
别地，如果a＝AB→，则上式可以化为OP→＝OA→＋tAB→
，或________________，这也是空间三点A，B，P共线的充要条件．
(7)共面向量：________________的向量叫做共面向量．
(8)空间共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是________________________________________．
推论：对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，满足向量关系式__________________________，其中__________，则点P与点A，B，C共面．
3．空间向量的数量积运算
(1)空间向量的数量积：已知两个非零向量a，b，则________________叫做a，b的数量积，记作a·b，通常规定，0≤〈a，b〉≤π.对于两个非零向量a，b，a⊥b?____________．
(2)空间零向量与任何向量的数量积为______． (3)a·a＝|a||a|cos〈a，a〉＝______． (4)空间向量的数量积满足如下的运算律： ①(λa)·b＝__________； ②a·b＝__________(交换律)；
③a·
(b＋c)＝________________(分配律)． 自查自纠
1．(1)大小 方向 (2)长度为0 (3)模为1 (4)长度相等而方向相反 (5)方向相同且模相等 (6)b＋a a＋(b＋c)
2．(1)①＞ ＜ ②|λ| (2)①λa＋λb ②(λμ)a (3)互相平行或重合 (4)存在实数λ，使a＝λb
(5)平行 (6)存在实数t，使OP→＝OA→
＋ta OP→＝(1－t)OA→＋tOB→
(7)平行于同一个平面 (8)存在惟一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb OP→＝xOA→＋yOB→＋zOC→
x＋y＋z＝1 3．(1)|a||b|cos〈a，b〉 a·b＝0 (2)0 (3)|a|2 (4)①λ(a·b) ②b·a ③a·b＋a·c
在长方体ABCD-A→→→
1B1C1D1中，BA＋BC＋DD1
＝( )
A.D→
B.D→1B1 1B C.DB→→1 D.BD1
解：BA→＋BC→＋DD→→→→→→1＝CD＋BC＋DD1＝BD＋DD1＝BD→
1，故选D.
平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为AC和
BD的交点，若AB→＝a，AD→＝b，AA→
1＝c，则下列式子
中与B→
1M相等的是( )
A．－12a＋12b＋c B．11
2a＋2b－c
C．－12a＋12b－c D．－11
2a－2
b＋c
解：B→→＋BM→
＝－c＋1→11M＝B1B2BD＝－c＋2
(b－a)
＝－12a＋1
2b－c，故选C.
如图所示，已知空间四边形OABC，OB＝OC，
且∠AOB＝∠AOC＝π3
，则cos〈OA→，BC→
〉的值为( )
A．0 B.1
2
C.32 D.22
解：设OA→＝a，OB→＝b，OC→
＝c，由已知条件〈a，
b〉＝〈a，c〉＝π3
，且|b|＝|c|，OA→·BC→
＝a·(c－b)＝a·c
－a·b＝12|a||c|－12|a||b|＝0，所以cos〈OA→，BC→
〉＝0.故
选A.
已知空间四边形OABC，点M，N分别是OA，
BC的中点，且OA→＝a，OB→＝b，OC→
＝c，用a，b，c
表示向量MN→
＝________.
解：如图所示，MN→＝1→→
1→→2(MB＋MC)＝2
[(OB－OM)
＋(OC→－OM→)]＝12(OB→＋OC→－2OM→
)＝1→→→2
(OB＋OC－OA)
＝12(b＋c－a)．故填1
2(b＋c－a)． (2017鞍山市育英中学月考)已知在正方体
ABCD-A→
1B1C1D1中，侧面CC1D1D的中心是F，若AF＝AD→＋mAB→＋nAA→
1，则m＝________，n＝________.
解：因为AF→＝AD→＋DF→＝AD→＋1→→→
2
(DC＋DD1)＝AD
＋12(AB→＋AA→→1→1→
11)＝AD＋2AB＋2AA1，所以m＝n＝2.故填12；12.
类型一 空间向量的运算
(2017枣阳市鹿头中学月考)如图所示，在
空间几何体ABCD-A1B1C1D1中，各面为平行四边形，
设AA→→＝b，AD→
1＝a，AB＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：
(1)AP→； (2)MP→＋NC→1.
解：(1)因为P是C→→＋A→
1D1的中点，所以AP＝AA11D1
＋D→→1→
1→11P＝a＋AD＋2D1C1＝a＋c＋2AB＝a＋c＋2
b.
(2)因为M是AA1的中点，
所以MP→＝MA→＋AP→＝1→→2A1A＋AP
＝－1112a＋??
a＋c＋2b??＝2a＋1
2b＋c. →→→1→→1→→又NC1＝NC＋CC1＝BC＋AA1＝AD＋AA1
22
1
＝c＋a， 2
11131→→
a＋b＋c?＋?a＋c?＝a＋b所以MP＋NC1＝??22??2?223
＋c. 2
【点拨】把平面向量的运算推广到空间后，许多基本的运算规则没有变，在解题过程中，要明确目标，类型二 空间向量共线与共面问题
(1)如图，在棱长为a的正方体
ABCD-A1B1C1D1中，G为△BC1D的重心．
把所求向量向三个基底向量转化，并注意向量拆分和重组的技巧．若表示的向量涉及线段的中点，可利用平行四边形法则来表示此向量，也可利用包含要表示的向量的封闭图形，根据封闭图形各边依次构成的向量之和为零向量得到相关式子；求空间若干向量之和时，可通过平移，将它们转化为首尾相接的向量．
如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，
AB→＝a，AD→＝b，AA→
1＝c，E为A1D1的中点，F为BC1与B1C的交点．
(1)用基底{a，b，c}表示下列向量：DB→→→
1，BE，AF；
(2)在图中画出DD→→→
1＋DB＋CD化简后的向量．
解：(1)DB→→＋CB→→→→
1＝DC1＝DC＋BB1－BC＝a－b＋c，
BE→＝BA→＋AA→＋A→11E
＝－a＋1
2
b＋c，
AF→＝AB→＋BF→
＝a＋12
(b＋c)
＝a＋12b＋12c.
(2)DD→→CD→＝DD→→→1＋DB＋1＋(CD＋DB) ＝DD→→DD→→＝DA→1＋CB＝1＋D1A11.
连接DA→
1，则DA1即为所求．
①试证A1，G，C三点共线； ②试证A1C⊥平面BC1D； ③求点C到平面BC1D的距离．
解：①证明：由于正方体ABCD-A1B1C1D1是平行
六面体，所以CA→→→→→→
1＝CA＋AA1＝CB＋CD＋CC1.
又因为点G为△BC1D的重心，
所以CG→＝13(CB→＋CD→＋CC→
)
1→1＝3CA1
. 故CG→∥CA→
1，即A1，G，C三点共线．
②证明：设CB→＝b，CD→＝ c，CC→
1＝d，则|b|＝|c|＝
|d|，且b·c＝b·d＝c·d＝0.
因为CA→→→→
1＝CB＋CD＋CC1＝b＋c＋d， BC→＝BC→＋CC→
11＝d－b，
所以CA→→
1·BC1＝(b＋c＋d)(d－b)＝a2－a2＝0.
所以CA→⊥BC→
11，即CA1⊥BC1. 同理可证CA1⊥BD.
又BC1∩BD＝B，所以CA1⊥面BC1D.
③由上面的证明知点C到平面BC1D的距离为CG.因为CA→1＝b＋c＋d，所以|CA→1|
＝3a. 所以|CG
→|＝13|CA→1|
＝33
a.
(2)正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为BB1
和A的中点．求证：向量A→→→
1D11B，B1C，EF是共面向量．
证明：因为EF→＝EB→＋BA→→
1＋A1F ＝12B→→B＋1→1B－A12A1D1 ＝12(B→＋BC→)－A→＝1→→1B1B2
B1C－A1B， 所以向量A→→→
1B，B1C，EF是共面向量．