??ln??1x1???2x2???limu?x1,x2??limexp?lnu?x1,x2???limexp???0??0??0?????

????xlnx1??2x2lnx2??1?2?exp?lim11??exp??1lnx1??2lnx2??x1x2??1??2?1?????0?1x1??2x2??（2）当????时，对效用函数u?x1,x2????1x1??2x2???1?两边变换求极限有：

????limu?x1,x2??limexp?lnu?x1,x2?????????ln??1x1???2x2????1x1?lnx1??2x2lnx2??exp?lim?limexp???????????1x1??2x2????????

??最后一个等号用到洛必达法则，下面分情况讨论： ①当x1?x2时：

???x1???1??lnx1??2lnx2x?limu?x1,x2??exp?lim?2????????????x??1?1???2??x2???????exp?lnx2??x2 ?????x?x上式中倒数第二个等号成立是因为当1?1时，lim?1???。

????xx2?2?②当x1?x2时：

????x2???2??lnx1??1lnx1????x1?limu?x1,x2??exp?lim??exp?lnx1??x1 ??????????x2????????12???x1???当x1?x2时，有u?x??x1?x2?min?x1,x2?。 综上可知：

????limu?x1,x2??min?x1,x2?

三、计算题

1．效用函数为u?x1,x2??min?x2?2x1,x1?2x2?。

（1）当p1/p2为何值的时候，唯一的最优解是x1?0？ （2）当p1/p2为何值的时候，唯一的最优解是x2?0？ 解：令横轴代表x1的消费数量，纵轴代表x2的消费数量。 当x2?2x1?x1?2x2，即x1?x2时，u?x1,x2??x2?2x1； 同理，当x2?2x1?x1?2x2，即x1?x2时，u?x1,x2??x1?2x2。

令u?x1,x2??x2?2x1?a，可得：x2?a?2x1，x1?x2，此时无差异曲线斜率为-2；

令u?x1,x2??x1?2x2?a，可得：x2?ax11?，x1?x2，此时无差异曲线斜率为?。 222根据已知条件，预算线的斜率为?p1/p2。

（1）如果预算线陡于2，则x1?0。所以条件为p1/p2?2。

（2）同理，如果预算线比1/2更平坦，x2将等于0。所以条件是p1/p2?1/2。

2．某消费者的效用函数为u?xy，x和y是他所消费的两种商品，其价格分别为Px?1 和Py?2，他的收入为100，试问他对x和y的需求量各为多少？

解：由题意得消费者效用最大化问题可以表述为：

maxU?xyx,y

s.. tx?2y?100

构造拉格朗日函数：

L?xy???10?x?2y?

效用最大化的一阶条件为：

?L1?11?x2y2???0 ?x2?L11?1?x2y2?2??0 ?y2?L?10?x?2y ?y有上述三式解得：x?50，y?25。

此即为消费者效用最大化时对两种商品的均衡消费量。

3．消费者的效用函数为U?x4y3，则他在y商品上的支出占总支出的比例是多少？对y的需求与x的价格有什么关系？

解：消费者效用最大化时必然是总支出等于总收入m。消费者效用最大化的问题可以表述为：

max U?x4y3x,y

s.. tpxx?pyy?mpx4x3y34y3pxMUx?42?消费均衡的条件为，即，亦即pyy?pxx。 ?4py3xy3xpyMUy将该等式关系代入预算约束方程pxx?pyy?m中可以得到：3所以，此消费者在y商品上的支出占总支出的比例是。

7pyym?3。 7对该式变形可以得到对y的需求函数：y??3m。 7py可见对y的需求只与该商品本身的价格以及消费者的收入水平有关，而与x的价格无关。

4．一退休老人有一份固定收入，他现在需在北京、上海与广州三地之间选择一城市去居住。假设他只按消费的效用来选择，不考虑地理、气候与文化因素。他的效用函数是

aabbu?x1x2，其中x1,x2?Rt2。已知北京的物价是?P1,P2?，上海的物价是?P1,P2?。广州的物价

ababPPababc１?P１２?P２是P?，P2?，已知P1P2?P1P2。问：他会选择哪个城市去居住？

22解：设该退休老人的收入为m，则他的效用最大化问题可以表述为：

c1max x1x2x1,x2s.t．P1x1?P2x2?m

由均衡条件

PMU11可得Px?11?P2x2。 P2MU2mm，x2?。 2P2P12代入预算约束条件可得该老人对两种商品的需求函数为x1?代入效用函数可以得到老人的总效用为：u?m2。 4PP12再将各个城市的物价水平代入老人的总效用函数可得：

m2在北京的效用为：ua?aa；

4P1P2在上海的效用为：ub?在广州的效用为：uc?cc12m2； bb4PP12m2。 cc4PP12?ababaabb??P1?P1?P2?P2?P1P2?P1P2，从而ua?ub?uc，?ab?P??P2a?P2b1?P1由于PP????22???abab因此他可能会选择去北京或上海，但不会选择去广州，除非P1?P1，P2?P2。

1。他可参与一次赌博，可以概率p得到财w富w1，以概率1?p得到财富w2。他现在需要多少财富使其保持现有财富水平与接受赌博恰

5．一个消费者具有预期效用函数u?w???好是无差异的？

解：保持现有财富与接受赌博无差异时，有：

?1??1?1p??????1?p???????

w?w1??w2?解得：w?w1w2。

pw2??1?p?w1w1w2才能是其保持不变现有财富水平与接收赌博

pw2??1?p?w1所以，他现在需要财富w?恰好是无差异的。

6．消费者A的效用函数为uA?x1,x2??x1?x2，消费者B的效用函数为

uB?x1,x2??max?x1,x2?。A和B有相同的初始禀赋（1/2，1/2）。

（1）均衡时，p1和p2之间的关系如何？ （2）均衡时的分配情况如何？

?uA?uB?u?u?u?u解：（1）由于A?A，B?B，所以，p2??x2??x2?1，p1?p2。

?x1?x2?x1?x2p1?uA?uB?x1?x1（2）均衡分配是：一个人获得一种产品的所有数量，另一个人获得另一种产品的所有数量。因此有两个均衡点（0，1）和（1，0）、（1，0）和（0，1）。如果x1?x2，A和B的均衡配置分别是（0，1）和（1，0）；如果x1?x2，A和B的均衡结果配置是（1，0）和（0，1）。

7．某人的效用函数形式为u?lnw。他有1000元钱，如果存银行，一年后他可获存款的1.1倍，若他买彩票，经过同样时间后他面临两种可能：有50%的机会他获得买彩票款的0.9倍，50%的可能获得彩票款的1.4倍。请问：他该将多少钱存银行？多少钱买彩票？

解：假设此人将其所拥有的1000元中的x用于购买彩票，这时有两种可能： 获得0.9x元，其概率为0.5；获得1.4x元，其概率为0.5。

他将剩余的（1000?x）元存入银行。对于这（1000?x）元的银行存款而言，在一年后连本带息将有1.1??1000?x?元。

综上所述，此人的期望效用为：

EU?0.5?ln??1.1??1000?x??0.9x???0.5?ln??1.1??1000?x??1.4x???0.5?ln?1100?0.2x??0.5?ln?1100?0.3x?

期望效用最大化的一阶条件为：

EU??0.5??0.20.3?0.5??0

1100?0.2x1100?0.3x解得x?916.7。

所以，此人为了使其预期效用最大化，他将花费916.7元用于购买彩票，将剩余的83.3元用于银行存款。

8．假使某消费者具有效用函数u?x,y??ln?2x?y?，当消费者拥有100元人民币，且x的价格为每个5元，y价格为每个7元时，为了最大化个人效用：

（1）消费者会选择购买多少数量的x和y？ （2）此时x对y的边际替代率是多少？ （3）如果让他减少1单位x的消费，必须给他多少数量的y才能使他的效用不会降低？

（4）既然两个组合带给他的效用是一样的，消费者为什么没有选择第二个消费组合？

解：（1）由效用函数的形式可知商品x和y是完全替代品，且无差异曲线的斜率为

MUxP5MUxMUyMUxPdy5，因?2?x???????2。消费者预算线的斜率为?x??。

MUyPy7PxPydxMUyPy7此，消费者将会把所有预算用于x的购买，对y的购买量为0。这可以从图2-3中直观看出：消费者均衡点为A点，购买的商品组合为（20，0）。

图2-3 消费者均衡

（2）由于无差异曲线是一条直线，斜率为常数，因此，x对y的边际替代率也是一个常数，其值等于无差异曲线斜率的绝对值2。

（3）由MRSxy?2可知，减少一单位的x的消费，为了保持消费者效用不变，需要给他2单位的y，也就是从A点沿无差异曲线向上移动到B点。

（4）虽然A点和B点带给消费者的效用是一样的，但显然B点位于消费者预算集之外，因此，消费者不可能在B点取得均衡。

9．消费者具有效用函数u?x,y??10?x2?y2?2xy??20时，要求：

（1）画出消费者的无差异曲线。

（2）如果x商品的价格高于y商品的价格，那么用于购买x商品的货币占这两种商品总支出的比例是多少？

解：（1）题中所给的效用函数其实是u?x,y??x?y的一个单调变换（因为x和y都是大于或等于0的），因此，这两个效用函数具有相同形状的无差异曲线图。单调变换后的效用函数无差异曲线的斜率为-1，因此，原效用函数的无差异曲线如图2-4；原有效用函数的无差异曲线的斜率用隐函数求导法则也可以方便地得出：

MUxdy20x?20y??????1。 dxMUy20y?20x