第二章 二次函数
§2.1 二次函数所描述的关系
学习目标:1.探索并归纳二次函数的定义.
2.能够表示简单变量之间的二次函数关系.
学习重点: 1.经历探索二次函数关系的过程,获得用二次函数表示变量之间关系的体验.
2.能够表示简单变量之间的二次函数.
学习难点:经历探索二次函数关系的过程,获得用二次函数表示变量之间关系的体验. 学习方法:讨论探索法. 学习过程:
1． 你知道什么叫二次函数吗？你否举出生活中关于二次函数的例子吗？ 2．下列函数中是二次函数的有（ ） ①y?x?11；②y?3(x?1)2?2；③y?(x?3)2?x2；④y?2?x xxA．1个 B．2个 C．3个 D．4个
课堂研讨：
自主完成：下面各题
①某果园有100棵橙子树，每一棵树平均结600个橙子，现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少．根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结5个橙子．
(1)问题中有哪些变量?其中哪些是自变量?哪些是因变量?
(2)假设果园增种；棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树?这时平均每棵树结多少个橙子?
(3)如果果园橙子的总产量为y个，那么请你写出y与x之间的关系式．
2②圆的半径是1cm，假设半径增加xcm时，圆的面积增加ycm。写出变量y与x之间的关系：
③正方形的边长是5，若边长增加x，面积增加y，求y与x之间的函数表达式：
④如果人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转
存，到期支取时，请你写出两年后支付时的本息和y（元）与年利率x的函数表达式： ⑥某商场将进价为40元的某种服装按50元售出时，每天可以售出300套．据市场调查发现，这种服装每提高1元售价，销量就减少5套，如果商场将售价定为x，请你得出每天销售利润y与售价的函数表达式．： 小组讨论：
（1）上面的问题中两个变量的关系是不是二次函数关系？ （2）你还能举出哪些生活中的二次函数的实例？ 课堂练习： 1.函数y=（m＋2）x
m2?2＋2x－1是二次函数，则m= ．
1
2．下列不是二次函数的是（ ）
12
A．y=3x＋4 B．y=－xC．y=
x2?5 D．y=（x＋1）（x－2） 32
3．函数y=（m－n）x2＋mx＋n是二次函数的条件是（ ）
A．m、n为常数，且m≠0 C．m、n为常数，且n≠0
B．m、n为常数，且m≠n D．m、n可以为任何常数
4.已知函数y=ax2＋bx＋c（其中a，b，c是常数），当a 时，是二次函数；
当a ，b 时，是一次函数；当a ，b ，c 时，是正比例函数． 5.正方形ABCD的边长为4，P是BC边上一点，QP⊥AP交DC于Q，如果BP=x， △ADQ的面积为y，用含x的代数式表示y．
课堂小结
1.定义：一般地,形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的函数叫做x的二次函数. y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的几种不同表示形式:
(1)y=ax2(a≠0,b=0,c=0,). (2)y=ax2+c(a≠0,b=0,c≠0). (3)y=ax2+bx(a≠0,b≠0,c=0). 2.定义的实质是：ax2+bx+c是整式,自变量x的最高次数是二次,自变量x的取值范围是全体实数. 方法：注意a≠0的条件。 课堂检测：
1．下列函数中，二次函数是（ ）
66A．y=6x＋1 B．y=6x＋1 C．y=＋1 D．y=2＋1
xx2
2．下列函数关系中，可以看作二次函数y=ax2＋bx＋c（a≠0）模型的是（ ）
A．在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系;
B．我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系;
C．竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计空气阻力）; D．圆的周长与圆的半径之间的关系． 3．当m 时，y=（m－2）x
m2?2是二次函数．
4．在生活中，我们知道，当导线有电流通过时，就会发热，它们满足这样一个表达式：若导线电阻为R，通过的电流强度为I，则导线在单位时间所产生的热量Q=RI2．若某段导线电阻为0．5欧姆，通过的电流为5安培，则我们可以算出这段导线单位时间产生的热量Q= ． 5．已知菱形的一条对角线长为a，另一条对角线为它的3倍，用表达式表示出菱形的面积S与对角线a的关系．
2
6．某商人如果将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件．现在他采用提高售出价，减少进货量的办法增加利润，已知这种商品每提高1元，其销售量就要减少10件．若他将售出价定为x元，每天所赚利润为y元，请你写出y与x之间的函数表达式？
7．如图，校园要建苗圃，其形状如直角梯形，有两边借用夹角为135°的两面墙，另外两边是总长为30米的铁栅栏．（1）求梯形的面积y与高x的表达式；（2）求x的取值范围．
8．如图，用同样规格黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察下列图形并解答有关问题：
（1）在第n个图中，第一横行共块瓷砖，每一竖列共有 块（均用含n的代数式表示）；
（2）设铺设地面所用瓷砖的总块数为y，请写出y与（1）中的n的函数表达式（不要求写出自变量n的取值范围）；
（3）按上述铺设方案，铺一块这样的矩形地面共用了506块瓷砖，求此时n的值；
（4）若黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，在问题（3）中，共需花多少元购买瓷砖？
（5）是否存在黑瓷砖与白瓷砖相等的情形？请通过计算说明为什么？
课后反思：你在学习中都遇到了哪些困难？你是如何解决的？
§2.2 结识抛物线
学习目标：
3
有 瓷砖
1．能够利用描点法作出函数y＝x的图象．能根据图象认识和理解二次函数y＝x的性质． 2．猜想并能作出y＝－x的图象，能比较它与y＝x的图象的异同． 学习重点：
1．能够利用描点法作出函数y＝x的图象，并能根据图象认识和理解二次函数y＝x的性质． 2．能够作出二次函数y＝－x的图象，并能比较它与y＝x的图象的异同． 学习难点
经历探索二次函数y＝x的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验．并把这种经验运用于研究二次函数y＝－x的图象与性质方面．实现“探索——经验——运用”的思维过程．
学习方法：探索——总结——运用法． 学习过程
温故知新，自主探究
1、画函数图象的一般步骤是 ， ， 2、请大家按上面的步骤作出y=x的图象．
(1)列表： x y －3 9 －2 4 －1 1 0 0 温馨提示：这里X的取值范围是 全体实数 1 2 3 1 4 9 2
2
2
2
2
2
2
2
2
22
(2)在练习本的直角坐标系中描点．
(3)用光滑的，曲线连接各点，便得到函数y＝x的图象． （温馨提示：连线时，最好从左往右来画） 看图说话，合作交流
1、对于二次函数y＝x2的图象， (1)你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流． (2)图象与x轴有交点吗?如果有，交点坐标是什么?
(3)当x<0时，随着x值的增大，y的值如何变化?当x>0时呢? (4)当x取什么值时，y的值最小?最小值是什么?你是如何知道的?
(5)图象是轴对称图形吗?如果是，它的对称轴是什么?请你找出几对对称点，并与同伴进行交流． 2、下面我们系统地总结一下．y=x的图象的性质． (1)抛物线的开口方向是 (2)它的图象有最 点，（填高或低）最 点坐标是( )．
(3)它是 对称图形，对称轴是 ．在对称轴左侧，y随x的增大而 ；在对称轴的右侧，y随x的增大而 ．
(4)图象与x轴有交点，这个交点也是对称轴与抛物线的交点，称为抛物线的 ，同时也是图象的最低点，坐标为(0，0)．
2
2
4
(5)因为图象有最低点，所以函数有最 值，当x＝0时，y最小=0．
3、 二次函数y=-x的图象是什么形状?先想一想，然后作出它的图象．它与二次函数y=x的图象有什么关系?与同伴进行交流． 4、试着讨论y=-x的图象的性质．
(1)它的开口方向 (2)它的图象有最 点最 点坐标为（ ）
(3)它是 对称图形，对称轴是 ，在对称轴左侧，y随x的增大而 ，在对称轴右侧x随x的增大而 ．
(4)图象与x轴有交点叫抛物线的顶点，还是图象的 ，这点的坐标为(0，0)． (5)因为图象有最高点，所以函数有 ，当x=0时，y最大＝0． 归纳总结，思维提升
1、函数y=x与y＝-x的图象的比较．
不同点：（1）开口方向 ，y=x开口 ，y=-x开口 ． （2）．函数值随自变量增大的变化趋势不同。
（3）．y=x有最低点，y=-x有最高点．在y=x中y有 值，即x=0时．y中y有 值．即当x＝0时，y最大＝0．
相同点：（1）．图象都是 ．（2）．图象都与x轴交于点( )． （3）．图象都关于 对称． 联系：它们的图象关于 对称． 2、填表格| 函 数 开口方向 对称轴 顶点坐标 a>0 a<0 y=ax 22
2
2
最小
2
2
2
2
22
2
＝0，在y=-x
2
轴（直线 ） （ ） 最值 增减性 当x>0时，y随x的增大而 当x<0时，y随x的增大而 当x>0时，y随x的增大而 当x<0时，y随x的增大而 课堂练习：
1、抛物线y=2x的顶点坐标为 ，对称轴为 当x>0时，y随x的增大而 ；当x<0时，y随x的增大而 。当x=0时．Y有最 值 ，为 。 抛物线y=2x在x轴的 方（除顶点外）。
2、抛物线y=-3x的顶点坐标为 ，对称轴为 当x>0时，y随x的增大而 ；当x<0
2
2
2
5