2008届高考数学概念方法题型易误点技巧总结（一）

集合与简易逻辑

基本概念、公式及方法是数学解题的基础工具和基本技能，为此作为临考前的高三学生，务必首先要掌握高中数学中的概念、公式及基本解题方法，其次要熟悉一些基本题型，明确解题中的易误点，还应了解一些常用结论，最后还要掌握一些的应试技巧。本资料对高中数学所涉及到的概念、公式、常见题型、常用方法和结论及解题中的易误点，按章节进行了系统的整理，最后阐述了考试中的一些常用技巧，相信通过对本资料的认真研读，一定能大幅度地提升高考数学成绩。

1.集合元素具有确定性、无序性和互异性. 在求有关集合问题时，尤其要注意元素的互异性，如 （1）设P、Q为两个非空实数集合，定义集合P+Q={a?b|a?P,b?Q}，若P?{，Q?{1,2,6}，0,2,5}则P+Q中元素的有________个。（答：8）

（2）设U?{(x,y)|x?R,y?R}，A?{(x,y)|2x?y?m?0}，B?{(x,y)|x?y?n?0}，那么点P(2,3)?A?(CuB)的充要条件是________（答：m??1,n?5）；

（3）非空集合S?{1,2,3,4,5}，且满足“若a?S，则6?a?S”，这样的S共有_____个（答：7）

2.遇到AB??时，你是否注意到“极端”情况：A??或B??；同样当A?B时，你是否忘记A??的情形？要注意到?是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。如集合A?{x|ax?1?0}，

1B??x|x2?3x?2?0?，且AB?B，则实数a＝______.（答：a?0,1,）

22?1，3.对于含有n个元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数依次为2，

n2n?1， 2?2.如满足{1,2}??M?{1,2,3,4,5}集合M有______个。 （答：7）

nn4.集合的运算性质： ⑴AB?A?B?A； ⑵AB?B?B?A；⑶A?B?

痧B?U?A?B； ⑹CU(AB) 痧uB???uA?B； ⑸euAuA?uB； ⑷A?CUACUB；⑺CU(AB)?CUACUB.如设全集U?{1,2,3,4,5}，若A?B?{2}，

(CUA)?B?{4}，(CUA)?(CUB)?{1,5}，则A＝_____，B＝___.（答：A?{2,3}，B?{2,4}）

5. 研究集合问题，一定要理解集合的意义――抓住集合的代表元素。如：?x|y?lgx?—函数的定义域；?y|y?lgx?—函数的值域；?(x,y)|y?lgx?—函数图象上的点集，如

（1）设集合M?{x|y?x?2}，集合N＝?y|y?x2,x?M?，则MN?___（答：[4,??)）；

（2）设集合M?{a|a?(1,2)??(3,4),??R}，N?{a|a?(2,3)??(4,5)，??R}，则

M?N?_____（答：{(?2,?2)}）

6. 数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具，在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况，补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。如已知函数

f(x)?4x2?2(p?2)x?2p2?p?1在区间[?1,1]上至少存在一个实数c，使f(c)?0，求实数p的取

值范围。 （答：(?3,)）

7.复合命题真假的判断。“或命题”的真假特点是“一真即真，要假全假”；“且命题”的真假特点

32是“一假即假，要真全真”；“非命题”的真假特点是“真假相反”。如在下列说法中：

⑴“p且q”为真是“p或q”为真的充分不必要条件； ⑵“p且q”为假是“p或q”为真的充分不必要条件； ⑶“p或q”为真是“非p”为假的必要不充分条件； ⑷“非p”为真是“p且q”为假的必要不充分条件。

其中正确的是__________（答：⑴⑶）

8.四种命题及其相互关系。若原命题是“若p则q”，则逆命题为“若q则p”；否命题为“若﹁p 则﹁q” ；逆否命题为“若﹁q 则﹁p”。提醒：

（1）互为逆否关系的命题是等价命题，即原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假。但原命题与逆命题、否命题都不等价；

（2）在写出一个含有“或”、“且”命题的否命题时，要注意“非或即且，非且即或”；

（3）要注意区别“否命题”与“命题的否定”：否命题要对命题的条件和结论都否定，而命题的否定仅对命题的结论否定；

（4）对于条件或结论是不等关系或否定式的命题，一般利用等价关系“A?B?B?A”判断其真假，这也是反证法的理论依据。

（5）哪些命题宜用反证法？如

（1）“在△ABC中，若∠C=900，则∠A、∠B都是锐角”的否命题为

（答：在

?ABC中，若?C?90，则?A,?B不都是锐角）；

（2）已知函数f(x)?a?xx?2,a?1，证明方程f(x)?0没有负数根。 x?19.充要条件。关键是分清条件和结论（划主谓宾），由条件可推出结论，条件是结论成立的充分条件；由结论可推出条件，则条件是结论成立的必要条件。从集合角度解释，若A?B，则A是B的充分条件；若B?A，则A是B的必要条件；若A=B，则A是B的充要条件。如

（1）给出下列命题：①实数a?0是直线ax?2y?1与2ax?2y?3平行的充要条件；②若

a,b?R,ab?0是a?b?a?b成立的充要条件；③已知x,y?R，“若xy?0，则x?0或y?0”

的逆否命题是“若x?0或y?0则xy?0”；④“若a和b都是偶数，则a?b是偶数”的否命题是假命题 。其中正确命题的序号是_______（答：①④）；

（2）设命题p：|4x?3|?1；命题q:x2?(2a?1)x?a(a?1)?0。若┐p是┐q的必要而不充分的条件，则实数a的取值范围是 （答：[0,]）

10. 一元一次不等式的解法：通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤化为ax?b的形式，若

12bb；若a?0,则x?；若a?0,则当b?0时，x?R；当b?0时，x??。如已知关于xaa1的不等式(a?b)x?(2a?3b)?0的解集为(??,?)，则关于x的不等式(a?3b)x?(b?2a)?0的解集

3a?0,则x?为_______（答：{x|x??3}）

11. 一元二次不等式的解集（联系图象）。尤其当??0和??0时的解集你会正确表示吗？设

a?0,x1,x2是方程ax2?bx?c?0的两实根，且x1?x2，则其解集如下表：

ax2?bx?c?0 ax2?bx?c?0 ax2?bx?c?0 ax2?bx?c?0 ??0 {x|x?x1或x?x2} {x|x?x1或x?x2} {x|x1?x?x2}{x|x1?x?x2} ??0 ??0 {x|x??R b} 2aR R ? ? {x|x??b} 2a? 1；a如解关于x的不等式：ax2?(a?1)x?1?0。（答：当a?0时，x?1；当a?0时，x?1或x?当0?a?1时，1?x?11；当a?1时，x??；当a?1时，?x?1） aa212. 对于方程ax?bx?c?0有实数解的问题。首先要讨论最高次项系数a是否为0，其次若a?0，

2则一定有??b?4ac?0。对于多项式方程、不等式、函数的最高次项中含有参数时，你是否注意到同样的情形？如：

（1）?a?2?x2?2?a?2?x?1?0对一切x?R恒成立，则a的取值范围是_______（答：(1,2]）； （2）关于x的方程f(x)?k有解的条件是什么？(答：k?D，其中D为f(x)的值域)，特别地，若在[0,?2]内有两个不等的实根满足等式cos2x?3sin2x?k?1，则实数k的范围是_______.（答： [0,1)）

13.一元二次方程根的分布理论。方程f(x)?ax2?bx?c?0(a?0)在(k,??)上有两根、在(m,n)上有两根、在(??,k)和(k,??)上各有一根的充要条件分别是什么？

????0?（?f(k)?0、?b???k?2a y (a>0) O k x1 x2 x ???0?f(m)?0?、f(k)?0）。根的分布理论成立的前提是开区?f(n)?0??m??b?n?2a间，若在闭区间[m,n]讨论方程f(x)?0有实数解的情况，可先利用在开区间(m,n)上实根分布的情况，得出结果，再令x?n和x?m检查端点的情况．如实系数方程x?ax?2b?0的一根大于0且小于1，另一根大于1且小于2，则

2b?21的取值范围是_________（答：（，1）） a?14214.二次方程、二次不等式、二次函数间的联系你了解了吗？二次方程ax?bx?c?0的两个根即为二次不等式ax?bx?c?0(?0)的解集的端点值，也是二次函数y?ax?bx?c的图象与x轴的交点的横坐标。如

（1）不等式x?ax?2231的解集是(4,b)，则a=__________（答：）； 282（2）若关于x的不等式ax?bx?c?0的解集为(??,m)?(n,??)，其中m?n?0，则关于x的