（4）G{ak}?x(G{bk?k?2})1?x(3?x) 3(1?x)?n?k??n?1?k?1?ak??????kk???? （5）

1G{ak}?(1?x)n?1（6）

?k?ak????3?n?4,?4?k?1??3?k?bk??????

?k??k??3?k?????3?G{ak}?x3(1?x)4

5.2 求如下数列的指数生成函数。

（1）ak?(?1)k； （2）ak?2kk!； （3）ak?1； k?1?kxk?e(?x) 解： （1）Ge{ak}??(?1)k!k?0（2）Ge{ak}??2kxk?G{bk?2k}?k?0?1 1?2x(3) Ge{ak}??xf(x)???1xk?f(x)

k?0(1?k)!?则

1xk?1k?0(1?k)!??1kx?1?ex?1k?0k!?ex?1故Ge{ak}?

x

2?3x?9x25.3 已知数列?ak?的生成函数是A(x)?，求ak.

1?3x

?22?2?3kxk 解： A(x)??3x而A(x)?1?3x1?3xk?0?2?3k,k?1故ak??

?9,k?1

5.4 求(1?x4?x8)100展开式中x20的系数是多少？

5(1) 若x8取0，则x4取5个，这种情况有C100种；

331(2) 若x8取1，则x4取3个，这种情况有C1100?C99或C100?C97； 2(3) 若x8取2，则x4取1个，这种情况有C1100?C99； 5312?C1故系数为C100100?C99?C100?C99= 91457520。

其他方法

5.5 三个人每个人投一次骰子，有多少种方法使得总点数为9？

2?28种方法。又因为这次点数小于等解：这相当于有9个球，用隔板将其分成3组，共有C8于6，即711，171和117三种情况不符，故共有25种方法。

(x?x2?x3?x4?x5?x6)3?(x?x)73??2?k?k??x?k(2)?

5.6 求在102和104之间的各位数字之和等于5？

解：(1) 三位数时，相当于x1?x2?x3?5(1?x1?5,0?x2?5,0?x3?5)的非负整数解的个数。故G(x)?(x?x2?x3?x4?x5)(1?x?x2?x3?x4?x5)(1?x?x2?x3?x4?x5)中C5为G(x)展开式x5的系数。

(2) 四位数时，相当于x1?x2?x3?x4?5(1?x1?5,0?x2?5,0?x3?5,0?x4?5)的非负整数解的个数。

5.7 一个1×n的方格图形用红、蓝、绿和橙四种颜色涂色，如果有偶数个方格被涂成红色，

还有偶数个方格被涂成绿色，求有多少种方案？ 解：涂色方案数为bk则：

xGe{bk}?(1?x2!?4!?24x)2(1?x2!?3!?23)2?(ex?e?x22)(ex)2?e4x?2e2x?14???14k?0?4k?2k?1xk4k!

因此：bk?4k?1?2k?1，所以有4n?1?2n?1种方案。

5.8 有4个红球，3个黄球，3个蓝球，每次从中取出5个排成一行，求排列的方案数？ 解：设每次取出的k个球的排列数为bk，数列{bk}的指数型生成函数为Ge{bk}则有

xxxxxxxxx而我们所求的是x的系数b5。故有Ge{bk}?(1?1!?x2!?3!?4!)(1?1!?2!?3!)(1?1!?2!?3!)5!23423235b5?220。

5.9 计算用3个A，3个G，2个C和1个U构成长度为2不同的RNA链的数量。

x22x2解： (1?x?)(1?x?)(1?x)中x2的系数C2，有C2=15.

22?7??7?5.10 计算??和??。

?3??3??7?解：(1)构造多项式x(x?1)(x?2)(x?3)(x?4)(x?5)(x?6)则??即x3的系数b3，则b3?1524，

?3??7?故???1524。 ?3??7?n(2)????1n12n233，n1?n2?n3?3?n1?n2?n3?4?4的非负整数解为(0,0,4), (1,2,3), (0,2,2),

(0,3,1), (0,4,0), (1,0,3), (1,1,2), (1,2,1) , (1,3,0), (2,0,2), (2,1,1) , (2,2,0) , (3,0,1), (3,1,0), (4,0,0)

?7?????3?2133?2232?2331?24?1133?112132?112231?1123?1232 ?3??122131?1222??1331?1321?14?3015.11设Bn表示把n元集划分成非空子集的方法数，我们称Bn为Bell数。

?n??n??n?证明：Bn??????????。

?1??2??n??n?证明：当有1个盒子时，方法数b1???，

?1??n?当有2个盒子时，方法数b2???，

?2?

?n?当有k个盒子时，方法数bk???，

?k?

?n?当有n个盒子时，方法数bn???，

?n?当有n+1个盒子时，至少有一个空盒，不符。

?n??n??n?故Bn??bi??????????i?1?1??2??3?n?n???? ?n?

5.12有重为1g的砝码重为1g的3个，重为2g的4个，重为4g的2个，求能称出多少种重

量？ 解：即求多项式(1?x?x2?x3)(1?x2?x4?x6?x8)(1?x4?x8)中展开式有多少项 (除1外)，原多项式

?(1?x?x2?x3?x4?x5?x6?x7?x8?x9?x10?x11)(1?x2?x4?x6?x8)故共有19种重量。

5.13 已知数列?ak?的指数生成函数是Ge(x)?x2?5ex，求ak.

f(x)?x2?5ex解：设

x2x3?x?5(1?x???..)2!3!2ak=5, k不等于2 ak=7, k =2

补：3个l，2个2，5个3这十个数字能构成多少个4位数偶数。

解 问题是求多重集S＝{3个1，2个2，5个3}的4排列数，且要求排列的末尾为2（偶数）。可以把问题转化成求多重集S＝{3个1，1个2，5个3},

??x2x3?x2x3x4x5?Ge(x)??1?x???(1?x)?1?x?????2!3!?2!3!4!5!???3!3!3!3!3!?x3?3!3!其指数生成函数为 ???? ???????3!1!2!1!2!3!1!2!1!1!1!2!1!3!???x3?20?3!x3展开后得的系数为20，所以能组成20个4位数的偶数。

3!习题六

6.1 设f(n)?12?22???n2，建立f(n)的递推关系并求解。 解：

?f(n)?f(n?1)?n2,(n?2)??f(1)?1齐次特征方程： x?1?0特征根： x?1非齐次特解： f*(n)?(b0?b1n?b2n2)n代入递推关系得：111b0?，b1?，b2?623111? f(n)?(?n?n2)n6236.2 求解递推关系：

?f(n)?7f(n?1)?12f(n?2)?0,(n?2)（1）?

f(0)?4,f(1)?6;?解：

齐次特征方程： x2?7x?12?0特征根： x1?4,x2?3齐次通解： f(n)?c14?c23代入递推关系得：c1?-6，c2?10? f(n)??6?4n?10?3n#nn

?f(n)?f(n?2)?0,(n?2)（2）?

f(0)?0,f(1)?2;?解：

x2?1?0x1??i,x2?i