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1，2，???，50?中找两个数?a,b?，使其满足 １.１ 从?（1） |a?b|?5；

（2）|a?b|?5

a?b?5a?b??5解：（1）根据|a?b|?5 可得 或 则有

45种 共有90种。 45种b?5?a?b?5（2）根据|a?b|?5 得 {

a,b?(1,2,???,50) 则：当b?5时，有 b?1 ， 1?a?6， 则有 6种 b?2 ， 1?a?7， 则有7种 b?3 ， 1?a?8， 则有8种 b?4 ， 1?a?9， 则有 9种 b?5 ， 1?a?10， 则有10种 当5?b?45时，有 b?6 ， 1?a?11， 则有 11种 b?7 ， 2?a?12， 则有 11种

. . . . . . . . . b?45 ， 40?a?50， 则有11种 当45?b?50时，有 b?46 ， 41?a?50， 则有 10种 b?47 ， 42?a?50， 则有 9种 b?48 ， 43?a?50， 则有 8种 b?49 ， 44?a?50， 则有 7种 b?50 ， 45?a?50， 则有 6种

故：共 40?11?2(10?9?8?7?6)?520种

1.2 （1）先把女生进行排列，方案为5！，然后把女生看成1个人和7个男生进

行排列，总方案数为5！×8！

（2）女生不相邻，则先把男生进行排列，方案为7！再把女生插入男生之间

的8个空位种的任意5个，总方案数为7！×P85

（3）应该是A 女生x 女生y 女生z B,或是B女生x 女生y 女生z A的形

式，从5个女生中选出3人进行排列，方案为P53，考虑A,B可以换位，方案为2×P53，然后把这个看成一个整体，和剩下的2个女生，5个男生，一共7个人进行排列，总方案数2×P53×8！

1.3 m个男生,n个女生,排成一行,其中m,n都是正整数,若

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（a）男生不相邻（m≤n+1）； （b）n个女生形成一个整体； （c）男生A和女生B排在一起； 分别讨论有多少种方案。 解：

(a)n!p(n+1,m) (b)(m+1)!n! (c)2(m+n-1)!

1．4 26个英文字母进行排列，求X和Y之间有五个字母的排列数？ 解:排列数为C(24,5)*5！*2*20！

1.5 求3000到8000之间的奇整数的数目，且没有相同的数字。 解：设四位数为n3n2n1n0.

由已知可知，n3只能取，3，4，5，6，7，8，n0只能取1,3,5,7,9. 分以下两种情况讨论：

1.当n3取3，5，7的时候，由于是不能重复的，所以n0只能有4种选择，而剩下的n2,n1分别有8，7种选择。 所以符合条件的数，根据乘法原理有：

3*4*8*7=672.个

2.当n3取4，6，8时，由于是不能重复的,所以n0有5种选择，而剩下的

n2,,n1分别有8，7种选择，所以符合条件的数，根据乘法原理有： 3*5*8*7=840个

所以综上所述，符合条件的数，根据加法原理共有： 672+840=1512个 1.6

1*1!+2*2!+3*3!…………+(n-1)*(n-1)! 根据公式得

1*1!+2*2!+3*3!…………+(n-1)*(n-1)!=n!-1 1.7 试证 （n+1）(n+2)…(2n)被2k除尽。 证明：

所以（n+1）(n+2)…(2n)能被2k除尽。

1.8 求1040和2030的共因数的数目. 解: 10 40=2 40 * 5 40

20 30=260 * 5 30

∴ 1040和2030的公因子有40*30=1200 个

1.9 试证n的平方的正除数的数目是奇数 答案：因为n的平方一定是两个数的乘积，一定是两个不同的数的乘积或唯一的一个相同的 数的乘积。例如，16可以是1*16，2*8或4*4，前面的都是成对出现的，只有4是一个 数，所以他们的和一定是奇数。 1.10 证明任一正整数n可唯一地表示成如下形式： n=?ai?i!, 0?ai?i, i?1

i?1证明：对n用数学归纳法

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① 当n=0,1时，0=0?1! , 1=1?1!。命题成立。 ② 假设对于小于n的非负整数，命题成立。 ③

0?n?k! 对

?(k于

?1n

k)?!，

k ?设k!??kkn?(k?k，k??即

??由②，对n?k!命题成立。设n?k!??ai?i!，其中0?ai?i，

i?10?ak?k?1 (原因是0?n?k!?k?k而!不能等于k?k!)，那么n??ai?i!?k!??ai?i!?(ak?1)?k!，其中0?ak?1?k，命题成立。

i?1i?1kk?1再证唯一性：

设n??ai?i!??bi?i!，不妨设aj?bj，j?min{i|ai?bi}，即

i?1i?1kka1?1!?a2?2!?a3?3!?b1?1?b!2?2?b3!?， 3?!?假设a1?b1，a2?b2，a3?b3，则j=3。那么，因为ai与bi前j项相等，上式两边均减去前j项，即?aii!??bii!，即

i?ji?j 将上式两边都除以(j?1)!，得

可以看出，上式的余数为ajj!=bjj!与假设矛盾。因此ai是唯一的 1.11求证：nC(n-1,r)=(r+1)C(n,r+1)

证明：

左边=C(n,1)C(n-1,r) 右边=C(r+1,1)C(n,r+1)

=C(n,1)C(n-1,r+1-1) =C(n,1)C(n-1,r) =左边

所以等式成立。 1—12 试证: 证明:

?kC(n,k)?n2k?1nn?1

(1+x)n =C(n,0)+C(n,1)x+C(n,2)x2+…+C(n,n)xn

两边求导,并令x=1代入

n(1+1)n?1=C(n,1)+C(n,2)x+C(n,3)x2+… +C(n,n)xn?1

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