（2）设⊙O的半径为r.则AO=5﹣r.在Rt△AOE中.sinA=出r的值．

【解答】解：（1）连接OE.BE. ∵DE=EF. ∴

==.从而可求

∴∠OBE=∠DBE ∵OE=OB. ∴∠OEB=∠OBE ∴∠OEB=∠DBE. ∴OE∥BC

∵⊙O与边AC相切于点E. ∴OE⊥AC ∴BC⊥AC ∴∠C=90°

（2）在△ABC.∠C=90°.BC=3.sinA= ∴AB=5.

设⊙O的半径为r.则AO=5﹣r. 在Rt△AOE中.sinA=∴r=

==

∴AF=5﹣2×=

【点评】本题考查圆的综合问题.涉及平行线的判定与性质.锐角三角函数.解方程等知识.综合程度较高.需要学生灵活运用所学知识．

. .

28．（10.00分）（2018?白银）如图.已知二次函数y=ax2+2x+c的图象经过点C（0.3）.与x轴分别交于点A.点B（3.0）．点P是直线BC上方的抛物线上一动点．

（1）求二次函数y=ax2+2x+c的表达式；

（2）连接PO.PC.并把△POC沿y轴翻折.得到四边形POP′C．若四边形POP′C为菱形.请求出此时点P的坐标；

（3）当点P运动到什么位置时.四边形ACPB的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ACPB的最大面积．

【分析】（1）根据待定系数法.可得函数解析式；

（2）根据菱形的对角线互相垂直且平分.可得P点的纵坐标.根据自变量与函数值的对应关系.可得P点坐标；

（3）根据平行于y轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标.可得PQ的长.根据面积的和差.可得二次函数.根据二次函数的性质.可得答案． 【解答】解：（1）将点B和点C的坐标代入函数解析式.得

.

解得

.

二次函数的解析是为y=﹣x2+2x+3；

（2）若四边形POP′C为菱形.则点P在线段CO的垂直平分线上. 如图1.连接PP′.则PE⊥CO.垂足为E.

. .

∵C（0.3）. ∴E（0.）. ∴点P的纵坐标. 当y=时.即﹣x2+2x+3=. 解得x1=

.x2=

（不合题意.舍）. .）；

∴点P的坐标为（

（3）如图2.

P在抛物线上.设P（m.﹣m+2m+3）. 设直线BC的解析式为y=kx+b.

将点B和点C的坐标代入函数解析式.得

.

解得

．

2

直线BC的解析为y=﹣x+3.

. .

设点Q的坐标为（m.﹣m+3）. PQ=﹣m2+2m+3﹣（﹣m+3）=﹣m2+3m． 当y=0时.﹣x2+2x+3=0. 解得x1=﹣1.x2=3. OA=1.

AB=3﹣（﹣1）=4. S四边形ABPC=S△ABC+S△PCQ+S△PBQ =AB?OC+PQ?OF+PQ?FB =×4×3+（﹣m2+3m）×3 =﹣（m﹣）2+

.

当m=时.四边形ABPC的面积最大． 当m=时.﹣m2+2m+3=当点P的坐标为（.

.即P点的坐标为（.

）．

．

）时.四边形ACPB的最大面积值为

【点评】本题考查了二次函数综合题.解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用菱形的性质得出P点的纵坐标.又利用了自变量与函数值的对应关系；解（3）的关键是利用面积的和差得出二次函数.又利用了二次函数的性质．

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