第十课时 函数的奇偶性（1） 【学习导航】 知识络 奇偶性定义 函数奇偶性 奇偶性与函数图像 奇偶性的证明

学习要求

1．了解函数奇偶性的含

义；

2．掌握判断函数奇偶性

的方法，能证明一些简单函数的奇偶性； 3．初步学会运用函数图象理解和研究函数的性质 自学评价

1．偶函数的定义：

如果对于函数y?f(x)的定义域内的任意一个x，都有 ，那么称函数y?f(x)是偶函数． 注意：（１） “任意”、“都有”等关键词；

（２）奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个x都必须成立；

2．奇函数的定义：

如果对于函数y?f(x)的定义域内的任意一个x，都有 ，那么称函

数y?f(x)是奇函数． 3．函数图像与单调性：

奇函数的图像关于 对称；

偶函数的图像关于 轴对称．

4．函数奇偶性证明的步骤： （1）考察函数的定义域是否关于“0”对称；

（2）计算f(?x)的解析式，并考察其与f(x)的解析式的关系 ； (3)下结论 .

【精典范例】

一．判断函数的奇偶性： 例1：判断下列函数是否是奇函数或偶函数：

判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)?x3?x (2)f(x)?3x?1 (3)f(x)?x6?x4?8，x?[?2,2)

(4)

f(x)?0 (5)f(x)?2x4?3x2

分析：函数的奇偶性的判断和证明主要用定义。

二．根据函数奇偶性定义求一些特殊的函数值： 例2：已知函数y?f(x)是定义域为R的奇函数，求f(0)的值．

三．已知函数的奇偶性求参数值： 例3：已知函数f(x)?(m?2)x2?(m?1)x?3是偶函数，求实数m的值．

追踪训练一

1. 给定四个函数y?x3?3x；

y?1x(x?0)；y?x3?1；y?x2?1x；其中是奇函数的个数是( )

(A)１个 (B)２个

(C)３个

(D)４个

2.

如果二次函数y?ax2?(b?3)x?c(a?0)是偶函数，则

b? ．

3. 判断下列函数的奇偶性： （1）

x)?(x?1)(1?x)2f(1?x2 （2）

f(x)?1?x22?|x?2| （3）f(x)?1?x2?x2?1 【选修延伸】 构造函数的奇偶性求函数值： 例３: 已知函数f(x)?x5?ax3?bx?8若f(?2)?10，求f(2)的值。 析：该函数解析式中含有两个参数，只有一个等式，故一般不能求得a,b的值，而两个自变量互为相反数，我们应该从这儿着手解决问题。

说明： １．如果函数y?f(x)是奇函数或偶函数，我们就说函数y?f(x)具有奇偶性；

根据奇偶性可将函数分为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、既不是奇函数也不是偶函数； ２．奇、偶函数的定义域关于“0”对称．如果一个函数的定义域不关于“0”对称，则该函数既不是奇函数也不是偶函数；

思维点拔： 一、等式f(?x)?f(x)和

f(?x)??f(x)的变形形式： 我们在探讨或证明函数的奇偶性过程中，处了将f(?x)