第四章 矩阵习题参考答案
一、 判断题
1. 对于任意n阶矩阵A，B，有A?B?A?B. 错.
2. 如果A2?0,则A?0. 错.如A???11?2?,A?0,但A?0.
??1?1?23. 如果A?A?E，则A为可逆矩阵.
正确.A?A2?E?A(E?A)?E，因此A可逆，且A?1?A?E.
4. 设A,B都是n阶非零矩阵，且AB?0，则A,B的秩一个等于n，一个小于n. 错.由AB?0可得r(A)?r(B)?n.若一个秩等于n，则该矩阵可逆，另一个秩为零，与两个都是非零矩阵矛盾.只可能两个秩都小于n. 5．A,B,C为n阶方阵，若AB?AC, 则B?C. 错.如A???11??21??32?,B?,C??????，有AB?AC,但B?C.
??1?1???2?1???3?2?6．A为m?n矩阵，若r(A)?s,则存在m阶可逆矩阵P及n阶可逆矩阵Q，使
?IsPAQ???0?0??. 0??正确.右边为矩阵A的等价标准形，矩阵A等价于其标准形. 7．n阶矩阵A可逆，则A*也可逆.
*?A*A?|A|E正确.由A可逆可得|A|?0，又AA.因此A*也可逆，且
(A*)?1?
1A. |A|1
8．设A,B为n阶可逆矩阵，则(AB)*?B*A*. 正确.(AB)(AB)*?|AB|E?|A||B|E.又
(AB)(B*A*)?A(BB*)A*?A|B|EA*?|B|AA*?|A||B|E.
因此(AB)(AB)*?(AB)(B*A*).由A,B为n阶可逆矩阵可得AB可逆，两边同时左乘式AB的逆可得(AB)*?B*A*. 二、 选择题
1．设A是n阶对称矩阵，B是n阶反对称矩阵(BT??B),则下列矩阵中为反对称矩阵的是（B ）.
(A) AB?BA (B) AB?BA (C) (AB)2 (D) BAB
(A)(D)为对称矩阵，（B）为反对称矩阵，（C）当A,B可交换时为对称矩阵. 2. 设A是任意一个n阶矩阵，那么（ A）是对称矩阵.
(A) AA (B) A?A (C) A (D) A?A
3．以下结论不正确的是（ C ）.
(A) 如果A是上三角矩阵，则A也是上三角矩阵； (B) 如果A是对称矩阵，则 A也是对称矩阵； (C) 如果A是反对称矩阵，则A也是反对称矩阵； (D) 如果A是对角阵，则A也是对角阵.
4．A是m?k矩阵, B是k?t矩阵, 若B的第j列元素全为零，则下列结论正确的是（B ）
(A) AB的第j行元素全等于零； (B)AB的第j列元素全等于零； (C) BA的第j行元素全等于零； (D) BA的第j列元素全等于零；
2222TT2T 2
5．设A,B为n阶方阵，E为n阶单位阵，则以下命题中正确的是（D ） (A) (A?B)2?A2?2AB?B2 (B) A2?B2?(A?B)(A?B) (C) (AB)2?A2B2 (D) A2?E2?(A?E)(A?E) 6．下列命题正确的是（B ）.
(A) 若AB?AC，则B?C
(B) 若AB?AC，且A?0，则B?C (C) 若AB?AC，且A?0，则B?C (D) 若AB?AC，且B?0,C?0，则B?C 7. A是m?n矩阵，B是n?m矩阵，则（ B）. (A) 当m?n时，必有行列式AB?0； (B) 当m?n时，必有行列式AB?0 (C) 当n?m时，必有行列式AB?0； (D) 当n?m时，必有行列式AB?0.
AB为m阶方阵，当m?n时，r(A)?n,r(B)?n,因此r(AB)?n?m，所以
AB?0.
8．以下结论正确的是（ C ）
(A) 如果矩阵A的行列式A?0,则A?0； (B) 如果矩阵A满足A?0，则A?0；
(C) n阶数量阵与任何一个n阶矩阵都是可交换的； (D) 对任意方阵A,B，有(A?B)(A?B)?A?B 9．设?1?,2?,3?,4是非零的四维列向量，A?(?1,?2,?3,?4),A*为A的伴随矩阵，
222已知Ax?0的基础解系为(1,0,2,0)T，则方程组A*x?0的基础解系为（ C ）.
（A）?1,?2,?3. （B）?1??2,?2??3,?3??1.
3
（C）?2,?3,?4. （D）?1??2,?2??3,?3??4,?4??1.
?1???0T由Ax?0的基础解系为(1,0,2,0)可得(?1,?2,?3,?4)???0,?1?2?3?0.
?2????0?因此（A），（B）中向量组均为线性相关的，而（D）显然为线性相关的，因此答案为（C）.由
A*A?A*(?1,?2,?3,?4)?(A*?1,A*?2,A*?3,A*?4)?O
可得?1,?2,?3,?4均为A*x?0的解.
10.设A是n阶矩阵，A适合下列条件（ C ）时，In?A必是可逆矩阵
nn(A) A?A (B) A是可逆矩阵 (C) A?0
(B) A主对角线上的元素全为零
11．n阶矩阵A是可逆矩阵的充分必要条件是（ D ）
(A) A?1 (B) A?0 (C) A?A (D) A?0 12．A,B,C均是n阶矩阵，下列命题正确的是（ A ）
(A) 若A是可逆矩阵，则从AB?AC可推出BA?CA (B) 若A是可逆矩阵，则必有AB?BA (C) 若A?0，则从AB?AC可推出B?C (D) 若B?C，则必有AB?AC
13．A,B,C均是n阶矩阵，E为n阶单位矩阵，若ABC?E，则有（C ） (A) ACB?E （B）BAC?E （C）BCA?E (D) CBA?E 14．A是n阶方阵，A是其伴随矩阵，则下列结论错误的是（ D ）
(A) 若A是可逆矩阵，则A也是可逆矩阵； (B) 若A是不可逆矩阵，则A也是不可逆矩阵；
4
**
*
T**(C) 若A?0，则A是可逆矩阵； （Ｄ）AA?A.
AA*?AE?A.
*15．设A是5阶方阵，且A?0，则A?（ Ｄ ）
234n(A) A (B) A (C) A (D) A 16．设A是A?(aij)n?n的伴随阵，则AA中位于(i,j)的元素为（Ｂ ）
(A)
*
*?ak?1njkAki (B)
?ak?1nkjAki (C) ?ajkAik (D) ?akiAkj
k?1k?1nn应为A的第i列元素的代数余子式与A的第j列元素对应乘积和.
?a11?a1n??A11?A1n?????17.设A????, B????,其中Aij是aij的代数余子式，则（C ） ???????An1?Ann???an1?ann??(A) A是B的伴随 (B)B是A的伴随 (C)B是A?的伴随 (D)以上结论都不对
18．设A,B为方阵，分块对角阵C???A0?*,则C? ( Ｃ ) ??0B?0? *?BB?0??
ABB*??A*(A) C???0?AA*0? (B)C??*?B??0?BA*(C) C???0?ABA*0?? (D) C??AB*??0利用CC*?|C|E验证.
19．已知A???46??135?，下列运算可行的是（ C ） ,B?????1?2??246?(A) A?B (B)A?B (C)AB (D)AB?BA
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