3、二项分布的平均数和标准差

? 如果二项分布满足p＞q且 nq≥5（或者p＜q且 np≥5时，二项分布接近于正态

分布。可用下面的方法计算二项分布的平均数和标准差。 ? 二项分布的平均数为： ? 二项分布的标准差为： 四、概率分布——样本分布

（一）、抽样分布 区分三种不同性质的分布：

? 总体分布：总体内个体数值的频数分布 ? 样本分布：样本内个体数值的频数分布 ? 抽样分布：某一种统计量的概率分布

1. 抽样分布的概念 抽样分布是从同一总体内抽取的不同样本的统计量的概率分布。 抽样分布是一个理论的概率分布，是统计推断的依据。 2．平均数抽样分布的几个定理

⑴．从总体中随机抽出容量为n的一切可能样本的平均数之平均数等于总体的平均数。

??np??npqE(X)??⑵．容量为n的平均数在抽样分布上的标准差（即平均数的标准误），等于总体标准差除以n的平方根。

?X??n⑶．从正态总体中，随机抽取的容量为n的一切可能样本平均数的分布也呈正态分布。 ⑷．虽然总体不呈正态分布，如果样本容量较大，反映总体μ和σ的样本平均数的抽样分布，也接近于正态分布。 （二）标准误

某种统计量在抽样分布上的标准差，称为标准误。标准误用来衡量抽样误差。标准误越小，

表明样本统计量与总体参数的值越接近，样本对总体越有代表性，用样本统计量推断总体参数的可靠度越大。因此，标准误是统计推断可靠性的指标。 平均数标准误的计算

1．总体正态，σ已知（不管样本容量大小），或总体非正态，σ已知，大样本

平均数的标准误为：

??X?n?X?2．总体正态，σ未知（不管样本容量大小），或总体非正态，σ未知，大样本

平均数标准误的估计值为： （三）平均数离差统计量的分布

1．总体正态，σ已知（不管样本容量大小），或总体非正态，σ已知，大样本

平均数离差的的抽样分布呈正态分布 正态总体，样本平均数的抽样分布

Sn?1Z?X???X?X???n???X?2?X?2n2．总体正态，σ未知（不管样本容量大小），或总体非正态，σ未知，大样本

平均数离差的的抽样分布呈t分布 t分布的特点

⑴．形状与正态分布曲线相似

⑵．t分布曲线随自由度不同而有一簇曲线

⑶．自由度的计算：自由度是指能够独立变化的数据个数。

⑷．查t分布表时，需根据自由度及相应的显著性水平，并要注意是单侧数据还是双侧。 3．总体σ未知，大样本时的近似处理

样本容量增大后，平均数的抽样分布接近于正态分布，可用正态分布近似处理：

t?X???XX???Sn?1Z??X???X?X??Sn第七章

一、点估计、区间估计与标准误 （一）总体参数估计的基本原理

根据样本统计量对相应总体参数所作的估计叫做总体参数估计。 总体参数估计分为点估计和区间估计。

由样本的标准差估计总体的标准差即为点估计；而由样本的平均数估计总体平均数的取值范围则为区间估计。 （二）点估计

1、良好的点估计量应具备的条件

无偏性： 如果一切可能个样本统计量的值与总体参数值偏差的平均值为0，这种统计量就是总体参数的无偏估计量。

有效性： 当总体参数不止有一种无偏估计量时，某一种估计量的一切可能样本值的方差小者为有效性高，方差大者为有效性低。

一致性： 当样本容量无限增大时，估计量的值能越来越接近它所估计的总体参数值，这种估计是总体参数一致性估计量。

充分性 ：一个容量为n的样本统计量,应能充分地反映全部n个数据所反映的总体的信息。 2、点估计量的缺点：有偏差，没有提供正确估计的概率,即不能提供估计值与参数真值的接近程度和可靠程度 （三）区间估计

区间估计得出的不是一个单一数值，而是一个数值区间。它既可以告诉我们参数的真值在什么范围内，又能告诉我们参数的真值落在这个范围的概率有多大。

区间估计的基础——抽样分布

根据抽样分布的特点及原理，不同总体条件下，可能会有不同的抽样分布，则可得到不同条件下总体参数的区间估计的计算方法。 区间估计涉及和置信区间和显著性水平。

区间估计

以样本统计量的抽样分布（概率分布）为理论依据，按一定概率的要求，由样本统计量的值估计总体参数值的所在范围，称为总体参数的区间估计。

对总体参数值进行区间估计，就是要在一定可靠度上求出总体参数的置信区间的上下限。 ⑴要知道与所要估计的参数相对应的样本统计量的值，以及样本统计量的理论分布； ⑵要求出该种统计量的标准误；

⑶要确定在多大的可靠度上对总体参数作估计，再通过某种理论概率分布表，找出与某种可靠度相对应的该分布横轴上记分的临界值，才能计算出总体参数的置信区间的上下限。

置信区间

置信度，即置信概率，是作出某种推断时正确的可能性（概率）。

置信区间，也称置信间距（confidence interval,CI）是指在某一置信度时，总体参数所在的区域距离或区域长度。置信区间是带有置信概率的取值区间。

显著性水平

对总体平均数进行区间估计时，置信概率表示做出正确推断的可能性，但这种估计还是会有犯错误的可能。显著性水平(significance level)就是指估计总体参数落在某一区间时，可能犯错误的概率，用符号α表示。 P＝１-α

2、平均数区间估计的基本原理

通过样本的平均数估计总体的平均数,首先假定该样本是随机取自一个正态分布的母总体(或非正态总体中的n＞30的样本)，而计算出来的实际平均数是无数容量为n的样本平均数中的一个。

根据样本平均数的分布理论，可以对总体平均数进行估计，并以概率说明其正确的可能性。 三、总体平均数的估计 （一）总体平均数的区间估计

1．总体平均数区间估计的基本步骤 ①．根据样本的数据，计算样本的平均数和标准差； ②．计算平均数抽样分布的标准误； ③．确定置信概率或显著性水平； ④．根据样本平均数的抽样分布确定查何种统计表； ⑤．计算置信区间； ⑥．解释总体平均数的置信区间。 2．平均数区间估计的计算

①总体正态，σ已知（不管样本容量大小），或总体非正态，σ已知，大样本

样本平均数的分布呈正态，平均数的置信区间为： X?Z??2?n???X?Z??2?n②总体正态，σ未知（不管样本容量大小），或总体非正态，σ未知，大样本 样本平均数的分布为t分布，平均数的置信区间为：X ③总体正态，σ未知，大样本

平均数的抽样分布接近于正态分布，用正态分布代替t分布近似处理： ④ 总体非正态，小样本

?t?df???2SS???X?t?df???n?1n?12SSX?Z?????X?Z??nn22不能进行参数估计，即不能根据样本分布对总体平均数进行估计。