第3大题： 计算题( 分)

3.1 (10分)如图所示，一个劲度系数为k的轻弹簧与一轻柔绳相连接，该绳跨过一半径为R，转动惯量为I的定滑轮，绳的另一端悬挂一质量为m的物体。开始时，弹簧无伸长，物体由静止释放。滑轮与轴之间的摩擦可以忽略不计。当物体下落h时，试求物体的速度v？

Mg-T1=ma (T1-T2)R=Iβ T2-kx=0 a=βR 联立解得a=(mg-kx)/(m+I/R2)

?vvdv1h0?(mg?kx)d

m?I?0R2解得v=genhao (2mgh-kh2)/ (m+I/R2) 3.2 (10分)一皮带传动装置如图所示，

A,B两轮上套有传动皮带。外力矩M作用

在A轮上，驱使其转动，并通过传动皮带带动B轮转动。A,B两轮皆可视为质量均匀分布的圆盘，其质量分别为m1和m2，半径分别为R1和R2。设皮带在轮上不打滑，并略去转轴与轮之间的摩擦。试求A,B两轮的角加速度?1和?2。解

M?(T1?T2)R1?12mR211?1 （1）……………………….2分 (T1?T12)R2?2m22R2?2 （2）………………..2分

由于皮带不打滑，切向速度相同，其变化率即切相加速度相同：

R1?1?R2?2

由式(2)得T11?T2?2m?2R2?2???一并代入式(1)得由式(3)得?R12?R?1?2?? 由式（2）（3）得

?M

1?2(m21?m2)R1代入式（3）得?2M 2?(m1?m2)R1R23.3 (10分)如图所示，一根细棒长为L，总质量为m，其质量分布与离O点的距离成正比。现将细棒放在粗糙的水平桌面上，棒可绕过其端点O的竖直轴转动。已知棒与桌面间的摩擦系数为?，棒的初始角度为?0。求：

（1） 细棒对给定轴的转动惯量

（2） 细棒绕轴转动时所受的摩擦力矩； （3） 细棒从角速度?0开始到停止转动所经过的时间。

解 (1)由题意可知细棒的质量线密度为 ??kr

式中k为常数。由于细棒的总质量为m，所以

?L0krdr?m…

由此得 k?2mL2 故 ??kr?2mL2r ……… 又 I??r2dm??r2?dr

所以

I??L2m0L2r3dr?122mL … （2）细棒上到转轴距离为r的长度元dr所

受到的摩擦力及摩擦力矩分别为

df??gdm??g?dr?2m?gL2rdr

dM?rdf?2m?g2L2rdr整个细棒所受到的摩擦力矩为

M?2?mg2L2?L0rdr?23?mgL

方向沿轴向下

(3) 设细棒由角速度?0到停止转动所经历的时间为t，则角动量定理可得

?Mt?0?I?o 213?gLt?(2mL2)?o

t?3?oL4?gaA＝aB＝

2(1?sina)5g 3.4 (10分)如图所示，质量均为m的两物体A，B. A放在倾角为α的光滑斜面上，通过定滑轮由不可伸长的轻绳与B相连.定滑轮是半径为R的圆盘，其质量也为m.物体运动时，绳与滑轮无相对滑动.求绳中张力T1和T2及物体的加速度a(轮轴光滑). 解 物体A，B，定滑轮受力图见图2.37(b).对于作平动的物体A，B，分别由牛顿定律得T1′－mgsin α＝maA ①

mg－T2′＝maB ②

又 T1′＝T1，T2′＝T2. ③ 对定滑轮，由转动定律得

T2R－T1R＝Iβ ④

由于绳不可伸长，所以

aA＝aB＝Rβ ⑤ 又 I＝

12mR2 联立式①，②，③，④，⑤得 T1＝

2+3sina5mg T2＝

3?2sina5mg aA＝aB＝

2(1?sina)5g 3.5 (10分)如图所示，一匀质细杆质量为m，长为l，可绕过一端O的水平轴自由转动，杆于水平位置由静止开始摆下．求： (1)初始时刻的角加速度；

(2)杆转过?角时的角速度. 解: (1)由转动定律，有

mgl132?(3ml2)? ??g2l (2)由机械能守恒定律，有

mglsin??1(1ml2223)?2 ∴

??3gsin?l 3.6 (10分)

计算如图所示系统中物体的加速度．设滑轮为质量均匀分布的圆柱体，其质量为M，半径为r，在绳与轮缘的摩擦力作用下旋转，忽略桌面与物体间的摩擦，设m1＝50kg，

m2＝200 kg,M＝15 kg, 解: 分别以m1,m2滑轮为研究对象，受力图如图(b)所

示．对m1,m2运用牛顿定律，有

m2g?T2?m2a ①

T1?m1a ②

对滑轮运用转动定律，有

T?T12r1r?(2Mr2)? ③

又， a?r? ④

联立以上4个方程，得

a?m2g?200?9.8?7.6m?s?2

m1?m2?M250?200?152第4大题： 证明题(10分)

4.1 (10分)如图所示，质量为M，长为l直杆，可绕水平轴O无摩擦地转动。设一质量为m的子弹沿水平方向飞来，恰好射入杆的下端，若直杆（连同射入的子弹）的最大摆角为??60?，试证子弹的速度为：

证：碰撞过程中遵守角动量守恒定律，有 Mv0l=(ml2+1/3Ml2)w ( 1.) 碰撞后遵守机械能守恒定律，有

12(ml2?13Ml2)?2?（m?1112M）glcos??2（m?2M）gl ( 2 )

解（1）、（2）得

第3大题： 计算题(80分)

3.7 (10分)一半径为R1的球体均匀带电，电荷体密度为?，球内有一半径为R2的球形空腔，空腔中心O?与球心O相距为a。试求空腔中心点O?处的电势。

解 如图所示，由补偿法分析，空腔中场点

P的电势是半径为R1，密度为?的大球和

半径为R2，密度为??的小球产生的电势之和，即

VP?V1?V2

取无限远处的电势为零，大球的电场分布为

???r?r?R1? E???3?0

??R3

1r

??3?3

?r?R1?0r

应用电势定义，可得大球内任意点的点电势

为