专题限时集训(十五) 函数与方程
(对应学生用书第107页)
(限时：40分钟)
题型1 函数零点个数的判断 题型2 已知函数的零点个数求参数的范围 一、选择题 2,5,6,13,14 1,3,4,7,8,9,10,11,12 ?1?＝logb，?1?1．(2017·湖北四地七校联盟)设a，b，c均为正数，且2＝log1a，?2?1??＝log2c，???2?
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则( ) A．a xB．c ?1?xA [法一：分别作出四个函数y＝??，y＝log1x，y＝2，y＝log2x的图象，由图象 ?2? 2 知：a ∴log1a>1，∴0 2 2 a?1?∵b>0，∴0 ∴0 21 ∴ b?1?∵??>0，∴log2c>0，∴c>1， ?2? 1 ∴0 2 2．(2017·南昌十校二模联考)已知函数f(x)＝－2x＋1，函数g(x)＝ ??log2x＋?x?2，x≤0? 2 c，x>0 ，则函数y＝|f(x)|－g(x)的零点的个数为( ) 【导学号：07804109】 A．3 C．5 B．4 D．6 C [(数形结合思想)函数y＝|f(x)|－g(x)的零点的个数，即|f(x)|－g(x)＝0的根的个数，可得|f(x)|＝g(x)，画出函数|f(x)|，g(x)的图象如图所示，观察函数的图 象，知它们的交点为5个，即函数的零点个数为5，选C. ] 3．(2017·云南一模)已知a，b，c，d都是常数，a>b，c>d.若f(x)＝2 017－(x－a)(x－ b)的零点为c，d，则下列不等式正确的是( ) A．a>c>b>d C．c>d>a>b B．a>b>c>d D．c>a>b>d 2 D [f(x)＝2 017－(x－a)(x－b)＝－x＋(a＋b)x－ab＋2 017，又f(a)＝f(b)＝2 017，c，d为函数f(x)的零点，且a>b，c>d，所以可在平面直角坐标系中作出函数f(x)的大致图象，如图所示，由图可知c>a>b>d，故选D.] 4．(2017·武昌区模拟)已知函数f(x)＝2ax－a＋3，若?x0∈(－1,1)，使得f(x0)＝0，则 实数a的取值范围是( ) A．(－∞，－3)∪(1，＋∞) C．(－3,1) B．(－∞，－3) D．(1，＋∞) A [依题意可得f(－1)·f(1)<0，即(－2a－a＋3)(2a－a＋3)<0，解得a<－3或a>1，故选A.] 5．(2017·湖南长沙二模)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x<0时，f(x)＝(x＋ 1)e.则对任意的m∈R，函数F(x)＝f[f(x)]－m的零点至多有( ) A．3个 C．6个 xxB．4个 D．9个 A [当x<0时，f′(x)＝(x＋2)e，由此可知f(x)在(－∞，－2)上单调递减，在(－2,0)上单调递增，f(－2)＝－e，f(－1)＝0，且当x→0时，f(x)→1.又因为f(x)是定义在R上的奇函数，故f(0)＝0.而当x∈(－∞，－1)时，f(x)<0，所以f(x)的图象的草图如图所示．令t＝f(x)，则F(x)＝0?f(t)＝m，由图可知，当t∈(－1,1)时，方程f(x)＝t至多有3个根，当t?(－1,1)时，方程f(x)＝t没有根，而对任意 －2 m∈R，方程f(t)＝m至多有一个根t∈(－1,1)，从而函数F(x)＝f[f(x)]－m的零点 至多有3个．故选A.] 2 ?x＋2x，－2≤x≤0，? 6．(2017·河南百校联盟模拟)已知函数f(x)＝? ?＋1，0 2 则方程5[x－ f(x)]＝1在[－2,2]上的根的个数为( ) A．3 C．5 B．4 D．6 1 D [整理方程5[x－f(x)]＝1，得f(x)＝x－.在同一 51 直角坐标系中分别作出函数y＝f(x)，y＝x－的图象，5如图所示，观察可知，两个函数的图象在[－2,2]上有6个交点，故方程5[x－f(x)]＝1在[－2,2]上有6个根．] ?1??1?7．(2017·山东济宁3月模拟)定义在?，π?上的函数f(x)满足f(x)＝f??，且当?π??x?????x∈?，1?时，f(x)＝ln x，若函数g(x)＝f(x)－ax在?，π?上有零点，则实数a的 ? ? 取值范围是( ) 1 ?π 1?π ?ln π，0? A.?－?π???1ln π? C.?－，π??e? B．[－πln π，0] 1??e D．?－，－? π??π 1?1??1??1?B [令x∈[1，π]，则∈?，1?，因为f(x)＝f ??，且当x∈?，1?时，f(x) x?π??x??π? ??1，1?，?ln x，x∈?π??1???＝ln x，所以f(x)＝f ??＝－ln x，则f(x)＝??x???－ln x，x∈[1，π]， 在坐标系中画出函数f(x)的图象如图： ?1?因为函数g(x)＝f(x)－ax在?，π?上有零点，所以直线y＝ax与函数f(x)的图象 ?π? 有交点，由图得，当a取满足题意的最小值时，直线y＝ax与f(x)的图象相交于点 3