2013年普通高等学校招生全国统一考试
数学（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合A??1,2,3?,B??4,5?,M??x|x?a?b,a?A,b?B?,则M中的元素个数为
（A）3 （B）4 （C）5 （D）6 2．1+3i??3?
（A）?8 （B）8 （C）?8i （D）8i 3．已知向量m????1,1?,n????2,2?，若m?n?m?n，则?=
（A）?4 （B）?3 （C）?2 （D）-1 4．已知函数f?x?的定义域为??1,0?，则函数f?2x?1?的定义域为
（A）??1,1? （B）??1,5．函数f?x?=log2?1?（A）
??????1??1? （C） （D）-1,0????,1? 2??2???1??1??x?0?的反函数f?x?= x?11 （B）x?0???x?0? （C）2x?1?x?R? （D）2x?1?x?0? xx2?12?14，则?an?的前10项和等于 36．已知数列?an?满足3an?1?an?0,a2??（A）?61?3?10 （B）
8422??11?3?10? （C）3?1?3?10? （D）3?1+3?10? ?97．?1?x??1+y?的展开式中xy的系数是
（A）56 （B）84 （C）112 （D）168
x2y2??1的左、右顶点分别为A1,A2，点P在C上且直线PA2的斜率的取值范围是??2,?1?，8．椭圆C:43那么直线PA1斜率的取值范围是
1 （D）?，1 （A）?，? （B）?，? （C）?，24842?4?9．若函数f?x?=x?ax?2?13????33????1????3???1?1?在?,+??是增函数，则a的取值范围是 x?2?（A）[-1,0] （B）[?1,??) （C）[0,3] （D）[3,??)
10．已知正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中AA1?2AB，则CD与平面BDC1所成角的正弦值等于
（A）
3221 （B） （C） （D）
3333211．已知抛物线C:y?8x与点M??2,2?，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A,B两点，若
MAMB?0，则k?
21（A） （B） （C）2 （D）2
22
12．已知函数f?x?=cosxsin2x，下列结论中错误的是
（A）y?f?x?的图像关于??,0?中心对称 （B）y?f?x?的图像关于直线x?（C）f?x?的最大值为?2对称
3 （D）f?x?既奇函数，又是周期函数 2二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.
13．已知?是第三象限角，sina??，则cota? .
14．6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有 种.（用数字作答）。
13?x?0,?15．记不等式组?x?3y?4,所表示的平面区域为D，若直线y?a?x?1?与D公共点，则a的取值范围
?3x?y?4,?是 .
16．已知圆O和圆K是球O的大圆和小圆，其公共弦长等于球O的半径，OK?平面所成的一个二面角为60，则球O的表面积等于 . 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分10分）等差数列?an?的前n项和为Sn，已知S3=a2，且S1,S2,S4成等比数列，求?an?的
23，且圆O与圆K所在的2通项式。 18．（本小题满分12分）设?ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c，(a?b?c)(a?b?c)?ac。
（I）求B
（II）若sinAsinC?19．（本小题满分12分）
如图，四棱锥P?ABCD中，?ABC??BAD?90，BC?2AD,?PAB与?PAD都是等边三角形。 （I）证明：PB?CD; （II）求二面角A?PD?C的大小。
3?1，求C。 4
20．（本小题满分12分）甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，设各局中双方获胜的概率均为
（I）求第4局甲当裁判的概率；
（II）X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的数学期望.
1第1局甲当裁判. ,各局比赛的结果相互独立，
2
x2y221．（本小题满分12分）已知双曲线C:2?2?1?a?0,b?0?的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为3，ab直线y?2与C的两个交点间的距离为6。
（I）求a,b;；
（II）设过F2的直线l与C的左、右两支分别相交于A,B两点，且AF1?BF1，证明：
AF2、AB、BF2成等比数列。
22．（本小题满分12分）已知函数f?x?=ln?1?x??x?1??x?.
1?x（I）若x?0时，f?x??0，求?的最小值； （II）设数列?an?的通项an?1?
1111??????,证明：a2n?an??ln2. 23n4n