找一点P，使BP+PE的值最小．
做法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这 点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为 ．
题26(a)图 题26(b)图
(2)实践运用
如题26(c)图，已知⊙O的直径CD为4，AD的度数为60°，点B是?AD的中点，在直径CD上找一点P，使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值．
题26(c)图 题26(d)图 (3)拓展延伸
如题26(d)图，在四边形ABCD的对角线AC上找一点P，使∠APB=∠APD．保留 作图痕迹，不必写出作法．
【答案】解：（1）3；
（2）如图：
作点B关于CD的对称点E，则点E正好在圆周上，连接OA、OB、OE，连接AE交CD与一点P，AP+BP最短，因为AD的度数为60°，点B是?AD的中点，
所以∠AEB=15°，
因为B关于CD的对称点E， 所以∠BOE=60°，
所以△OBE为等边三角形， 所以∠OEB=60°， 所以∠OEA=45°， 又因为OA=OE，
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所以△OAE为等腰直角三角形， 所以AE=22. （3）找B关于AC对称点E，连DE延长交AC于P即可，
13．（2010湖北省咸宁）问题背景
A D S2E S16 3 C S B F 2 图1
（1）如图1，
△ABC中，DE∥BC分别交AB，AC于D，E两点， 过点E作EF∥AB交BC于点F．请按图示数据填空：
四边形DBFE的面积S? ， △EFC的面积S1? ，
△ADE的面积S2? ．
探究发现
（2）在（1）中，若BF?a，FC?b，DE与BC间的距离为h．请证明S2?4S1S2．
拓展迁移
（3）如图2，□DEFG的四个顶点在△ABC的三边上，若 △ADG、△DBE、△GFC的面积分别为2、5、3，试利用（2） ．．．中的结论求△ABC的面积． ．．．．
A D G
B
E F
图2
C
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【答案】（1）S?6，S1?9，S2?1．
（2）证明：∵DE∥BC，EF∥AB，
∴四边形DBFE为平行四边形，?AED??C，?A??CEF． ∴△ADE∽△EFC．
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S2DE2a2∴?()?2． S1FCba2a2h1∵S1?bh， ∴S2?2?S1?．
b2b21a2h?(ah)2． ∴4S1S2?4?bh?22b而S?ah， ∴S2?4S1S2
（3）解：过点G作GH∥AB交BC于H，则四边形DBHG为平行四边形． ∴?GHC??B，BD?HG，DG?BH． ∵四边形DEFG为平行四边形， ∴DG?EF． ∴BH?EF． ∴BE?HF． ∴△DBE≌△GHF． ∴△GHC的面积为5?3?8．
由（2）得，□DBHG的面积为22?8?8． ∴△ABC的面积为2?8?8?18．
B
H E F
图2
C
D A G
14．（2010北京）问题:已知△ABC中，∠BAC=2∠ACB，点D是△ABC内的一点，且
AD=CD，BD=BA，探究∠DBC与∠ABC度数的比值．
请你完成下列探究过程：
先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明． （1）当∠BAC=90°时，依问题中的条件补全右图． 观察图形，AB与AC的数量关系为 ；
当推出∠DAC=15°时，可进一步推出∠DBC的度数为 ； 可得到∠DBC与∠ABC度数的比值为 ．
（2）当∠BAC≠90°时，请你画出图形，研究∠DBC与∠ABC度数的比值是否与（1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明． 【答案】解：（1）相等；15°；1:3．
(2)猜想：∠DBC与∠ABC度数的比值与（1）中的结论相同．
证明：如图2，作∠KCA=∠BAC，过B点作BK∥AC，交CK于点K，连结DK. ∵∠BAC≠90°
∴四边形ABKC是等腰梯形． ∴CK=AB， ∵DC=DA， ∴∠DCA=∠DAC． ∵∠KCA=∠BAC， ∴∠KCD=∠3． ∵△KCD≌△BAD． ∴∠2=∠4，KD=BD， ∵BK∥AC，
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BCA∴∠ACB=∠6． ∵∠KCA=2∠ACB， ∴∠5=∠ACB， ∴∠5=∠6． ∴KC=KB， ∴KD=BD=KB． ∴∠KBD=60°．
∵∠ACB=∠6=60°－∠1， ∴ ∠BAC=2∠ACB=120°－2∠1．
∵∠1 +(60°－∠1) +(120°－2∠1)+ ∠2=180° ∴∠2=2∠1．
∴∠DBC与∠ABC度数的比值为1：3． 15．（2010河南）（1)操作发现
如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE．且点G在矩形ABCD内部.小明将BG延长交DC于点F，认为GF=DF，你同意吗？请说明理由.
(2)问题解决
保持(1)中的条件不变，若DC=2DF，求(3)类比探究
保持(1)中的条件不变，若DC=n·DF，求
AD的值. ABAD的值. AB【答案】（1）同意.连接EF，则∠EGF = ∠D=90°,EG = AE = ED,EF = EF, ∴Rt△EGF ≌ Rt△EDF. ∴GF = DF.
（2）由（1）知，GF = DF.设DF = x ，BC = y ，则有GF = x，AD = y. ∵DC = 2DF, ∴CF = x ,DC = AB = BG = 2x , ∴BF = BG + GF = 3x.
222 222
在Rt△BCF中，BC+CF = BF.即y+x=(3x). ∴y = 22x , ∴
ADy==2 AB2x（3）由（1）知，GF = DF.设DF = x，BC = y，则有GF = x，AD = y. ∵DC = n·DF, ∴ DC = AB = BG = nx. ∴CF = (n-1)x，BF = BG + GF =（n+1）x.
222222
在Rt△BCF中，BC+CF = BF，即y+[(n-1)x]=[(n+1)x]
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∴ y = 2nx, ∴
ADy2n2==(或) ABnxnn16．（2010陕西西安）问题探究
（1）请你在图①中作一条直线，使它将矩形ABCD分成面积相等的两部分； ．．
（2）如图②，点M是矩形ABCD内一定点，请你在图②中过点M作一条直线，使它
将矩形ABCD分成面积相等的两部分。 问题解决
（3）如图③，在平面直角坐标系中，直角梯形OBCD是某市将要筹建的高新技术开发区用地示意图，其中CD//OB，OB=6，BC=4，CD=4。开发区综合服务管理委员会（其占地面积不计）设在点P（4，2）处，为了方便驻区单位，准备过点P修一条笔直的道路（路的宽度不计），并且使这条路所在的直线l将直角梯形OBCD分成面积相等的两部分，你认为直线l是否存在？若存在，求出直线l的表达式；若不存在，请说明理由。
【答案】解：（1）如图①，作直线DB，直线DB即为所求。（所求直线不唯一，只要过
矩形对称中心的直线均可）
（2）如图②，连接AC、DB交于点P，则点P为矩形ABCD的对称中心，作直线
MP，直线MP即为所求 （3）如图③，存在符合条件的直线l，
过点D作DA⊥OB于点A，
则点P（4，2）为矩形ABCD的对称中心 ∴过点P的直线只要平分?DOA的面积即可。
易知，在OD边上必存在点H，使得直线PH将?DOA面积平分， 从而，直线PH平分梯形OBCD的面积。 即直线PH为所求直线l.
设直线PH的表达式为y?kx?b,且点P(4,2)
?2?4k?b,即b?2?4k.
∵直线OD的表达式为y?2x.
2?4k?x?,??y?kx?2?4k,?2?k解之，得? ??4?8ky?2x.??y?.?2?k?第 20 页 共 23 页