第三讲函数及其图像

【专题知识结构】

【专题解题分析】

本专题在中考中的常考点有点的坐标的特征，对称变换和平移变换中坐标的特征；求函数自变量的取值范围，函数图象的信息；一次函数解析式的确定，一次函数的图象与性质，一次函数的应用；反比例函数的图象和性质，反比例函数中k的几何意义；确定抛物线的顶点坐标及对称轴，二次函数解析式的确定，二次函数的图象和性质，二次函数图象的平移，二次函数图象与系数的关系，二次函数与方程、不等式的关系，二次函数的应用等．解决数与式问题的常用方法有数形结合法，特殊值法，分类讨论法，整体代入法，设参数法，逆向思维法等.

函数及其图象在中考中一般以客观题进行考查，根据函数的性质写出函数解析式一般以开放题形式进行考查；函数及其图象在中考中考查题型多样，对图象与性质的考查一般以选择题、填空题进行考查，函数的应用一般以解答题进行考查，特别是对二次函数的考查常以压轴题的形式出现；

解决函数及其图象问题常用的数学思想有数形结合思想，转化思想和分类讨论思想等；常用的方法有待定系数法，特殊值法，观察法，比较法，分析法和综合法等. 【典型例题解析】

例题1: 已知反比例函数y1=的图象与一次函数y2=ax+b的图象交于点A（1，4）和点B（m，﹣2）．

（1）求这两个函数的表达式；

（2）根据图象直接写出一次函数的值大于反比例函数的值的x的取值范围．

【考点】G8：反比例函数与一次函数的交点问题．

【分析】（1）由A在反比例函数图象上，把A的坐标代入反比例解析式，即可得出反比例函数解析式，又B也在反比例函数图象上，把B的坐标代入确定出的反比例解析式即可确定出m的值，从而得到B的坐标，由待定系数法即可求出一次函数解析式；

（2）根据题意，结合图象，找一次函数的图象在反比例函数图象上方的区域，易得答案． 【解答】解：（1）∵A（1，4）在反比例函数图象上， ∴把A（1，4）代入反比例函数y1=得：4=∴反比例函数解析式为y1=的， 又B（m，﹣2）在反比例函数图象上， ∴把B（m，﹣2）代入反比例函数解析式， 解得m=﹣2，即B（﹣2，﹣2），

把A（1，4）和B坐标（﹣2，﹣2）代入一次函数解析式y2=ax+b得：解得：

，

，

，解得k1=4，

∴一次函数解析式为y2=2x+2； （2）根据图象得：﹣2＜x＜0或x＞1．

例题2: （2017山东临沂）足球运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h（单位：m）与足球被踢出后经过的时间t（单位：s）之间的关系如下表： t h 0 0 1 8 2 14 3 18 4 20 5 20 6 18 7 14 … … 下列结论：①足球距离地面的最大高度为20m；②足球飞行路线的对称轴是直线t=；③足球被踢出9s时落地；④足球被踢出1.5s时，距离地面的高度是11m，其中正确结论的个数

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是（ ） A．1

B．2

C．3

D．4

【分析】由题意，抛物线的解析式为y=ax（x﹣9），把（1，8）代入可得a=﹣1，可得y=﹣t+9t=﹣（t﹣4.5）+20.25，由此即可一一判断．

【解答】解：由题意，抛物线的解析式为y=ax（x﹣9），把（1，8）代入可得a=﹣1， ∴y=﹣t+9t=﹣（t﹣4.5）+20.25，

∴足球距离地面的最大高度为20.25m，故①错误， ∴抛物线的对称轴t=4.5，故②正确， ∵t=9时，y=0，

∴足球被踢出9s时落地，故③正确， ∵t=1.5时，y=11.25，故④错误． ∴正确的有②③， 故选B．

【点评】本题考查二次函数的应用、求出抛物线的解析式是解题的关键，属于中考常考题型． 例题3：（2017山东临沂）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y=（x＞0）的图象与边长是6的正方形OABC的两边AB，BC分别相交于M，N 两点，△OMN的面积为10．若动点P在x轴上，则PM+PN的最小值是（ ）

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2

2

2

A．6

B．10 C．2

D．2

【分析】由正方形OABC的边长是6，得到点M的横坐标和点N的纵坐标为6，求得M（6，），N（，6），根据三角形的面积列方程得到M（6，4），N（4，6），作M关于x轴的对称点M′，连接NM′交x轴于P，则NM′的长=PM+PN的最小值，根据勾股定理即可得到结论． 【解答】解：∵正方形OABC的边长是6， ∴点M的横坐标和点N的纵坐标为6，

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