第八章 λ-矩阵与若尔当标准形复习指导

（一）基本内容

1.??矩阵，可逆的??矩阵，??矩阵的秩.

2.??矩阵的初等变换及标准形，??矩阵的等价.

3.行列式因子，不变因子，初等因子.

4.若尔当标准形，最小多项式，矩阵的有理标准形.

（二）主要方法

1.??矩阵的逆矩阵的求法. 2.化??矩阵为标准形的方法.

3.??矩阵的不变因子与初等因子的求法.

4.矩阵相似的判别.

5.矩阵与对角矩阵相似的判别.

6.复系数矩阵的若尔当标准形的求法. 7.矩阵的最小多项式的求法.

（三）重要习题

?1例1：求可逆??矩阵的逆矩阵. 【①伴随矩阵法：A(?)?1A?(?), A(?)②初等变换法:?A(?)?E??????初等行变换?E?A?1(?)】

?例2：化??矩阵为标准形. 如：课本P334例.

类似题有：课本P355习题1.

例3：求??矩阵的不变因子与初等因子. 如：课本P342例.

类似题有：课本P356习题2、习题3.

例4：求复系数矩阵A的若尔当标准形.

【这是重点！①先求初等因子，②写出初等因子对应的若尔当块，③得到A的若尔当标准形.】

如：课本P349例1、例2. 类似题有：课本P357习题6. 例5：判别矩阵相似.

【两矩阵相似的充分必要条件是它们的不变因子或初等因子相等】 见：课本P341推论、P343定理8.

方法：求出它们对应的特征多项式的行列式因子或不变因子或初等因子. 如：课本P357习题5.

例6：判别矩阵与对角矩阵相似.

【矩阵与对角矩阵相似的充分必要条件是初等因子全为一次因子或其不变因子都没有重根】

见：课本P351定理12、13.

方法：求出对应的特征多项式的不变因子或初等因子.

例7：求矩阵的最小多项式. 【最小多项式是特征多项式的因式】 方法：先求出特征多项式，再找满足条件的因式. 如：课本P317例1、2.

类似题有：课本P326习题27.