习 题 一

1.写出下列随机试验的样本空间：

（1）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数. （2）在单位圆内任意取一点，记录它的坐标.

（3）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果. 1.（1）S??10,11,?; （2）S??(x,y)x2?y2?1?，

,0110,1100,1010,1011,0111,1101,1110,1111?.其中0表示次品，1（3）S??00,100,0100,0101表示正品.

2.写出下列随机试验的样本空间及下列事件包含的样本点. （1） 掷一颗骰子，出现奇数点. （2） 掷二颗骰子，

A=“出现点数之和为奇数，且恰好其中有一个1点.” B=“出现点数之和为偶数，但没有一颗骰子出现1点.” （3）将一枚硬币抛两次， A=“第一次出现正面.” B=“至少有一次出现正面.” C=“两次出现同一面.”

2.【解】（）1???12，，3，4，5，6?，A??13，，；5?

(2)???(i,j)|i,j?1,2,,6?,A??(1，2),(1，4),(1，6),(2,1),(4,1),(6,1)?,B??(2，2),(2，4),(2，6),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(4,6),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6)?;(3)???(正,反),(正,正),(反,正),(反,反)?,A??(正,正),(正,反)?,B??(正,正),(正,反),(反,正)?,C??(正,正),(反,反)?, 3.设A,B,C为三事件，用A,B,C的运算关系表示下列各事件： （1）A发生，B与C不发生. （2）A与B都发生，而C不发生. （3）A,B,C中至少有一个发生. （4）A,B,C都发生. （5）A,B,C都不发生.

（6）A,B,C中不多于一个发生. （7）A,B,C中不多于两个发生. （8）A,B,C中至少有两个发生.

3.【解】（1） ABC （2） ABC （3）A∪B∪C （4）ABC (5) ABC (6) AB?AC?BC

(7) ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC∪ABC=ABC=A∪B∪C (8) ABC∪ABC∪ABC∪ABC= AB∪BC∪CA.

4.在某系的学生中任选一名学生.令事件A表示“被选出者是男生”；事件B表示“被选出者是三年级学生”；事件C表示“被选出者是运动员”.

（1）说出事件ABC的含义；

（2）什么时候有恒等式A?B?C?C； （3）什么时候关系式C?B正确； （4）什么时候等式A?B成立.

4.(1)该生是三年级男生但不是运动员;(2)当某系的运动员全是三年级男生时;(3)当某系除三年级外其它年级的学生都不是运动员时;(4)当某系三年级的学生都是女生,而其它年级都没有女生时.

5.盒中有10只晶体管. 令Ai表示“10只晶体管中恰有i只次品”， B表示“10只晶体管中不多于3只次品”， C表示“10只晶体管中次品不少于4只”.问事件Ai(i?0,1,2,3)，

B，C之间哪些有包含关系？哪些互不相容？哪些互逆？

BB5. Ai?B,i?0,1,2,3；A0,A1,A2,A3,C两两互不相容，与C互不相容；与C互

逆。

6. A,B是任意两个事件，化简下列式子 （1）?AB?ABABAB； （2）AB?AB?AB?AB?AB. 6. （1）?； （2）AB.

7.若P(A)?0.5，P(AB)?0.2，P(B)?0.4，试求

（1）P(AB)；（2）P(A?B)；（3）P(A?B)；（4）P(AB). 7. （1）因为P(AB)?P(B?A)?P(B)?P(AB)，故

??????P(AB)?P(B)?P(AB)?0.4?0.2?0.2；

（2）P(A?B)?P(A)?P(AB)?1?P(A)?P(AB)?0.3； （3）P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?0.7；

（4）P(AB)?P(A?B)?1?P(A?B)?0.3.

8.观察某地区未来5天的天气情况，记Ai为事件“有i天不下雨”，已知

P(Ai)?iP(A0),i?1,2,3,4,5，求下列事件的概率.

(1) 5天均不下雨； （2）至少有一天不下雨； （3）至多三天不下雨.

8.易知A0,A1,???,A5两两互不相容且A0?A1?????A5?S，所以

1?P?S??P?A0?A1?????A5??P?A0??P?A1???P?A5?

?P?A0??P?A0??2P?A0???5P?A0??16P?A0?

于是得P?A0??1/16，P(Ai)?i/16,i?1,2,3,4,5.

记（1），（2），（3）所表示的事件分别为A,B,C，则 （1）P?A??P?A0??1/16； （2）P?B??1?P?A0??15/16

（3）P?C??1?P?A4??P?A5??1?4/16?5/16?7/16. 9. 设A,B是两事件，且P(A)?0.6，P(B)?0.7，问 （1）在什么条件下P(AB)取到最大值，最大值是多少？ （2）在什么条件下P(AB)取到最小值，最小值是多少？

9. （1）A?B时，P(AB)取到最大值0.6 （2）P(A?B)?1时，P(AB)取到最小值0.3。

10.某城市有50%住户订日报，有65%住户订晚报，有85%住户至少订这两种报纸中的一种，求同时订这两种报纸的住户的百分比.

10.0.3

11. 从52张扑克牌中任意取出13张，问有5张黑桃，3张红心，3张方块，2张梅花的概率是多少？

533211. p=C13C13C13C13/C1352

12.将3个球随机地放入4个杯子中，求杯子中球的最大个数分别为1,2,3的概率. 12.设A,B,C分别表示杯子中球的最大个数分别为1,2,3的事件，则

4?3?23?； 4384?1?11P(C)?3?；

416319P(B)?1?P(A)?P(C)?1???.

81616P(A)?13. 在电话号码薄中任取一个电话号码，求后面4个数全不相同的概率（设后面4个数中的每一个数都是等可能性地取自0，1，2，?，9）.

13. 这是重复排列问题.个数有10种选择,4个数共有104种选择.4个数全不相同,是排列问题.用10个数去排4个位置,有A10种排法,故所求概率为P?A10/10.

44414.概率： （1）五个人的生日都在星期日； （2）五个人的生日都不在星期日； （3）五个人的生日不都在星期日.

14.（1） 设A1={五个人的生日都在星期日}，基本事件总数为75，有利事件仅1个，故

P（A1）=

115

=（） 757（2） 设A2={五个人生日都不在星期日}，有利事件数为65，故

6565

P（A2）=5=()

77(3) 设A3={五个人的生日不都在星期日}

P（A3）=1?P(A1)=1?(

15

). 715.某油漆公司发出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶、红漆3桶，在搬运中所有标签脱落，交货人随意将这些油漆发给顾客.问一个定货为4桶白漆、3桶黑漆和2桶红漆的顾客，能按所定颜色如数得到定货的概率是多少？

915. 与次序无关,是组合问题.从17桶油漆中取9桶,有C17种取法. 由乘法原理,取4桶

432C10C4C3252. P??9C172431白漆、3桶黑漆和2桶红漆的取法为CCC4103423种,所以所求概率为

16.在1500个产品中有400个次品、1100个正品.任取200个. （1）求恰有10个次品的概率； （2）求至少有2个次品的概率.

10190001199C400C1100C12100?C400C110016.（1）；（2）1?. 00200C1250C1500017. 50只铆钉随机地取来用在10个部件上，其中有3个铆钉强度太弱.每个部件用3

只铆钉.若将3只强度太弱的铆钉都装在一个部件上，则这个部件强度就太弱.问发生一个部件强度太弱的概率是多少？

17.将部件从1到10编号，Ai表示“i号部件强度太弱”，故

P(Ai)?因A1,A2,11?,i?1,2,3C5019600,10.

,A10两两互不相容，因此10个部件中有一个部件强度太弱的概率是

P?P?A1?A2??A10??P?A1??P?A2???P?A10??101?.

19600196018. 从1至9这九个数中有放回地取3次,每次任取1个,求所取的三个数之积能被10整除的概率．

18.解 设“所取的3个数中含有数字5”为事件A1, “所取的3个数字中含有偶数”为事件A2,

“所取的3个数之积能被10整除”为事件A,则A= A1 A2,故

P(A)?P(A1A2)?1?P(A1A2)?1?P(A1?A2)?1?P(A1)?P(A2)?P(A1A2)854?1?()3?()3?()3?0.214.99919.9∶00~10∶00在公园会面，求一人要等另一人半小时以上的概率.

19. 记9点为计算时刻的0时，以分钟为单位．设甲、乙两人到达指定地的时刻分别为x、y，则样本空间S是0?x,y?60.事件“一人要等另一人半小时以上”等价于

x?y?30.如图阴影部分所示.

题19图

3021P?2?.

604 20.

0，1）中随机地取两个数，求：

6的概率； 51（2） 两个数之积小于的概率.

4（1） 两个数之和小于

20. 设两数为x,y，则0?x,y?1.

144617（1）x?y<，p1?1?255??0.68.

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