2018-2019学年山东省烟台市高三(上)期中数学试卷(理科) 下载本文

构造函数g(x)=,g′(x)==,

x<﹣1时,g′(x)<0;﹣1<x<0,g′(x)>0. ∴g(﹣e)>g(﹣1), ∴

,化为:f(﹣e)﹣e2f(﹣1)>0.

故选:A.

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共计20分.不需要写出解答过程,请将答案填写在答题卡相应的位置上.)

13.(5分)若向量=(1,2),=(x,﹣2),且⊥,则【解答】解:∴∴x=4; ∴∴∴

. ; ; ;

= 5 .

故答案为:5.

14.(5分)设x,y满足约束条件,则z=x+y的最小值是 ﹣7 .

【解答】解:由x,y满足约束条件,

作出可行域如图, 联立

,解得A(﹣4,﹣3),

化目标函数z=x+y为y=﹣x+z, 由图可知,当直线y=﹣x+z过A时,

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直线在y轴上的截距最小,z有最小值为﹣7. 故答案为:﹣7.

15.(5分)已知锐角△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=b,则的取值范围为 (0,) .

【解答】解:∵锐角△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a=b, ∴2A+C=π,

∴由正弦定理可得:=∵C∈(0,

),可得:2A=π﹣C∈(

,π),可得:A∈(

).

),

∴cosA∈(0,故答案为:(0,

),可得:=2cosA∈(0,).

16.(5分)设a,b∈(0,1)∪(1,+∞),定义运算:

,则以下四个结论:①(2τ4)τ8=8τ(4τ2);

②8τ(4τ2)>(8τ4)τ2>(2τ8)τ4;③(4τ2)=(2τ4)τ4<(2τ8)τ4;④

.其中所有正确结论的序号为 ①

② .

【解答】解:对于①,2τ4=log24=2,4τ2=log24=2, ∴(2τ4)τ8=2τ8=log28=3, 8τ(4τ2)=8τ2=log28=3,

∴(2τ4)τ8=8τ(4τ2),①正确;

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对于②,8τ(4τ2)=3, 8τ4=log48=, ∴(8τ4)τ2=τ2=2τ8=log28=3,

∴(2τ8)τ4=3τ4=log34)=3>

2>

2,

2,

2,

∴8τ(4τ2)>(8τ4)τ2>(2τ8)τ4,②正确; 对于③,4τ2=2,(2τ4)τ4=2, (2τ8)τ4=log34,

∴(4τ2)=(2τ4)τ4>(2τ8)τ4,③错误; 对于④,

τ=

2τ=2,

∴(τ)(2τ)=?2=2<0,

(τ)+(2τ)=+2>0,

∴④错误.

综上,所有正确结论的序号为①②. 故答案为:①②.

三、解答题(本大题共6小题,共计70分.请在答题纸指定区域内作答,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17.(12分)已知函数

它相邻的一条对称轴之间的距离为

的图象的一个对称中心与

(1)求函数f(x)的对称轴方程及单调递增区间;

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(2)将函数y=f(x)的图象向右平移个单位后,再将得到的图象上所有点的

横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),得到函数y=g(x)的图象,当x∈()时,求函数g(x)的值域. 【解答】解:(1)∵函数

=

sin2ωx+

=sin(2ωx+

)+ 的图象

的一个对称中心与它相邻的一条对称轴之间的距离为=

∴ω=1,f(x)=sin(2x+)+.

令2x+

=kπ+

,求得x=

+

故函数f(x)的对称轴方程为得x=+

,k∈Z. (2)将函数y=f(x)的图象向右平移个单位后, 可得y=sin(2x﹣

+

)+=sin(2x﹣

)+的图象;

再将得到的图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变), 得到函数y=g(x)=sin(4x﹣)+的图象. 当x∈(,

)时,4x﹣

∈(﹣

),

∴sin(4x﹣

)∈(﹣1,1],

故函数g(x)的值域为(﹣,].

18.(12分)已知△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,向量(sinA+sinC,sinB),=(c﹣b,c﹣a),且∥. (1)求角A的大小;

(2)若a=3,b+c=5,求△ABC的面积. 【解答】(本题满分为12分)

解:(1)∵向量=(sinA+sinC,sinB),=(c﹣b,c﹣a),且∥. ∴由题意结合向量共线可得:(sinA+sinC)(c﹣a)=sinB(c﹣b),

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=

∴由正弦定理可得(a+c)(c﹣a)﹣b(c﹣b)=0,…3分 ∴整理可得:b2+c2﹣a2=bc, ∴由余弦定理可得cosA=∵A为三角形的内角, ∴A=60°;…6分

(2)∵由余弦定理可得b2+c2﹣9=bc, ∴(b+c)2﹣9=3bc,…9分 ∴解得:bc=

,…10分

=

.…12分

=,…5分

∴△ABC的面积S=bcsinA=

19.(12分)已知函数f(x)=aln(x+1)+x2+1,g(x)=﹣x2﹣2mx+4. (1)当a>0时,求曲线y=f(x)的切线斜率的取值范围;

(2)当a=﹣4时,若存在x1∈[0,1],x2∈[1,2],满足f(x1)≥g(x2),求实数m的取值范围.

【解答】解:(1)函数f(x)=aln(x+1)+x2+1的定义域为(﹣1,+∞), ∴f′(x)=当且仅当

+2x=

即x=

=2

∈(﹣1,+∞)时取“=”

,+∞). ﹣2,

所以函数y=f(x)图象上任一点处切线斜率的取值范围为[2(2)函数f(x)=﹣4ln(x+1)+x2+1(x>﹣1), ∴f′(x)=

+2x=

当x∈[0,1]时,f′(x)<0,f(x)为减函数, 所以f(x)在[0,1]上最大值为f(0)=1,

因为存在x1∈[0,1],x2∈[1,2],使f(x1)≥g(x2),

所以只要f(x)在x∈[0,1]上的最大值大于等于g(x)在x∈[1,2]的最小值即可,

只要g(1)≤1或g(2)≤1, 即﹣1﹣2m+4≤1或﹣4﹣4m+4≤1, 解得m

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