(中南大学现代远程教育课程考试)高等数学复习题及答案 下载本文

(A)f(x)g(b)?f(b)g(x) (B)f(x)g(a)?f(a)g(x) (C)f(x)g(x)?f(b)g(b) (D)f(x)g(x)?f(a)g(a) 13.设f(x)是连续函数,且F(x)?(A)?e?xf(e?x)?f(x) (C)e?xf(e?x)?f(x)

? e?x xf(t)dt,则F?(x)?( ).

(B)?e?xf(e?x)?f(x) (D)e?xf(e?x)?f(x)

14.设f(x)在?1,2?上具有连续导数,且f(1)?1,f(2)?1,则xf?(x)dx?( ).

1?f(x)dx??1,

1 2? 2(A)2 (B)1 (C)-1 (D)-2

15.设f(x)在?a,b?上二阶可导,且f(x)?0,f?(x)?0,f??(x)?0.记

S1??f(x)dx S2?f(b)(b?a), S3? a bf(a)?f(b)(b?a),则有( ).

2(A)S1?S2?S3 (B)S2?S3?S1 (C)S3?S1?S2 (D)S1?S3?S2 16.设幂级数

?an?1?n(x?1)n在x??1处收敛. 则此级数在x?2处( ).

(A)绝对收敛 (B)条件收敛

(C)发散 (D)收敛性不能确定 17.下列命题中,正确的是( ). (A)若级数

?u与?vnn?1n?1???n的一般项有un?vn(n?1,2?),则有

?u??vnn?1n?1??n

?un?1(B)若正项级数?un满足?1(n?1,2,?),则?un发散

un?1n?1n?(C)若正项级数

?un收敛,则limn?1un?1?1

n??unanan?1?R.

(D)若幂级数

?anxn的收敛半径为R(0?R???),则limn?1nnn?n??18.设级数

?(?1)a2n?1?收敛,则级数

?an?1?n( ).

(D)敛散性不确定

(A)绝对收敛 (B)条件收敛 (C)发散

19. 微分方程?x?y??dx?dy??dx?dy的通解是( )

(A)x?y?ln?x?y??c; (B)x?y?ln?x?y??c; (C)x?y?ln?x?y??c; (D)x?y?ln?x?y??c.

20. 设y?f(x)满足微分方程y???5y??5y?0,若f?x0??0,f??x0??0,则函数f?x? 在点x0( )

(A)取极大值; (B)取极小值; (C)附近单调增加; (D)附近单调减少. 21. 函数y?y?x?在点x处的增量满足 ?y?y?x?o??x?1?x2??x?0?

且y?0???,则y?1??(D)

(A)2?; (B)?; (C)e; (D)?e4.

22. 若含有s个向量的向量组线性相关,且该向量组的秩为r,则必有( ). (A) r=s (B) r>s (C) r=s+1 (D) r

23. 已知向量组?1?(1,1,1,0),?2?(0,k,0,1),?3?(2,2,0,1),?4?(0,0,2,1)线性相关,则

?4?k=( )

(A) ?1 (B) ?2 (C) 0 (D) 1 24. 向量组?1,?2,?,?s线性相关的充分必要条件是( )

(A) ?1,?2,?,?s中含有零向量

(B) ?1,?2,?,?s中有两个向量的对应分量成比例

(C) ?1,?2,?,?s中每一个向量都可由其余s?1个向量线性表示 (D) ?1,?2,?,?s中至少有一个向量可由其余s?1个向量线性表示

25.对于向量组(α1,α2,?,αr),,因为0α1?0α2???0αr?0,所以α1,α2,?,αr是[ ].

( A )全为零向量; ( B )线性相关;

( C )线性无关; ( D )任意.

26. 设A,B均为n阶矩阵,且AB=O,则必有 ( ) (A) A=O或B=O (B)|A|=0或|B|=0 ( C) A+B=O (D) |A|+|B|=0

27.若非齐次线性方程组Am×n X = b的( ),那么该方程组无解. A.秩(A) = n B.秩(A)=m

C.秩(A)? 秩 (A)

D.秩(A)= 秩(A)

28.若线性方程组的增广矩阵为A???2?多解。

?1?2??,则当?=( ?14?)时线性方程组有无穷

A.1 B.4 C.2

2?1 D.

1 229.设λ=2是非奇异矩阵A的特征值,则(A)有一个特征值是 ( ) (A)

13411 (B) ( C) 3 (D) 324430.若二次型

222正定,则( ) f(x1,x2,x3)?(k?1)x1?(k?2)x2?(k?3)x3(A)k??1 (B)k?1 (C)k?2 (D)k?3

?211???31. 已知??(1,k,1)T是矩阵A??121?的特征向量,则k=( )

?112??? (A) 1或2 (B) ?1或?2 (C) 1或?2 (D) ?1或2

32. 在随机事件A,B,C中,A和B两事件至少有一个发生而C事件不发生的随机事件可表示为( )

(A)AC?BC (B)ABC (C)ABC?ABC?ABC (D)A?B?C 33. 袋中有5个黑球,3个白球,大小相同,一次随机地摸出4个球,其中恰有3个白球的概率为( )

35?3?14?3?1(A) (B)?? (C)C8 (D) ??48C8?8?8?8?834. 设A、B互为对立事件,且P?A??0,P?B??0,则下列各式中错误的是( ) (A)PB|A?0 (B)P?A|B??0 (C)P?AB??0 (D)P?A?B??1 35. 离散型随机变量X的分布列为P{ X = k } =ak, k = 1,2,3,4.则a?( ) (A)0.05 (B)0.1 (C)0.2 (D)0.25 36. 设随机变量X的分布函数为F(x)?a?53??1?arctanx(???x??,a为常数)则

???3?P???X?3?=( ) ???3? (A)

1112 (B) (C) (D) 632337. 设随机变量X服从N??,4?,则P?X?2???,的值( ) (A)随?增大而减小; (B)随?增大而增大; (C)随?增大而不变; (D)随?减少而增大.

38 .设随机变量X~N(?,?2),则Y?aX?b服从( ) (A)N(?,?2) (B)N(0,1) (C)N????2?,()? (D)N(a??b,a2?2) ?ab?39. 对目标进行3次独立射击,每次射击的命中率相同,如果击中次数的方差为0.72,则每次射击的命中率等于( )

(A)0.1 ( B ) 0.2 ( C ) 0.3 ( D ) 0.4

1??40. 设随机变量X的概率密度为f(x)???a2?x2?0?|x|?a|x|?a,a?0,则E(X)=( ).

(A)-1 (B)0 (C)1 (D)以上结论均不正确

三、解答题

?a?x2x?0?1.设f(x)??1 x?0,已知f(x)在x?0处连续可导,

?ln(b?x2)x?0?试确立a,b并求f?(x)

?2z2.设z?f(2x?y,ysinx), 其中f(u,v)具有二阶连续偏导数, 求.

?x?yxy?,x2?y2?0讨论f(x,y)在(0,0) ?23.设

f(x,y)??x?y2?22?0,x?y?0(1)偏导数是否存在。 (2).是否可微。

4.在过点P(1,3,6)的所有平面中, 求一平面, 使之与三个坐标平面所围四面体的

体积最小.

?5.

?20xcos2xdx

26.

??|x?y2?4|d?,其中D为圆域x2?y2?9。

227.设f(x,y)在x?y?1上连续,求证:

limR?01R2x2?y2?R2??f(x,y)d???f(0,0)。

证明 D?{(x,y)|x2?y2?R2}

(?1)n?18.求幂级数?(x?4)n收敛区间及和函数S(x):

nn?1?1?y29.求解 y??,y(1)?0; 3xy?xy10.求解xy??xtany??y?0,y(1)?. x211.求解4y???4y??y?0满足y?0??2,y??0??0. 12.求解y???3y??2y?2ex满足y?0??1,y??0???1;

13.设二阶常系数线性微分方程y????y???y??ex的一个特解为y?e2x??1?x?ex,试确定?,?,?,并求该方程的通解.

cos??sin?14.计算下列行列式sin?cos?,

213?112

15.计算下列行列式50

1aa31bb314236

1122

16.证明:

c?(a?b?c)(b?a)(c?a)(c?b)c3

?101???2

17.设AX+E=A+X,且A=?020?,求X.

???101?

?a1??b1??67?18.已知矩阵????0b2???63?,求常数a,b .

a0?????? 19. 将向量?表示成

(1)

?1,?2,?3的线性组合:

?1?(1,1,?1),?2?(1,2,1),?3?(0,0,1),??(1,0,?2)

20.问?,?取何值时,齐次方程组