有非零解？

21．设线性方程组

??x1?x2?x3?0??x1??x2?x3?0?x?2?x?x?023?1

试问c为何值时，方程组有解？若方程组有解时，求一般解。

22.求一个正交变换化下列二次型为标准型： （1）f?2x1?3x2?3x3?4x2x3

23．某工人看管甲、乙、丙3台机器，在1小时内，这3台机器不需照管的概率分别为0.8，0.9，0.6，设这三台机器是否需照管是相互独立的，求在1小时内 (1)有机床需要工人照管的概率；(2) 机床因无人照管而停工的概率. 24．设随机变量X的分布密度为f(x)?222A1?x2(???x???)

求(1) 常数A； (2) X的分布函数； .

25．设二维随机变量（X，Y）在区域0?x?1,y2?x内服从均匀分布.求 (1)（X，Y）的联合分布密度；

(2)X与Y的边缘分布密度，并问它们是否相互独立？ 26．设X，Y是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为

?e?y,y?0?1,0?x?1 fY(y)?? fX(x)???0,y?0?0,其它求随机变量Z＝X＋Y的概率密度函数.

27．一工厂生产的某种设备的寿命X（以年计）服从指数分布，密度函数为

x?1?14e?f(x)??4?0?0?xx?0

为确保消费者的利益，工厂规定出售的设备若在一年内损坏可以调换，若售出一台设备，工厂获利100元，而调换一台则损失200元.求工厂出售一台设备赢利的数学期望. 28.设随机变量（X，Y）服从正态分布，且X和Y分别服从正态分布N(1,3)

21XY和N(0,42)，X与Y的相关系数?XY??,Z??,求Z的数学期望E(Z)和方差

232D(Z)；

参考答案

一、填空题 x1．设f(x)?ax?a?2，则函数的图形关于 对称。

解：f(x)的定义域为(??,??) ，且有

?x)?a?x?a?(?x)a?x?axax2?2??a?xf(2?f(x)

即f(x)是偶函数，故图形关于y轴对称。

2．若y???sinx?2?x?0??x2?10?x?2，则y(2)? .

2解：1??4 。

x2sin13． 极限limx 。

x?0sinx? x2sin1解：limxx?0sinx?limx?0(xsin1xxsinx)?limx?0xsin1x?limxx?0sinx?0?1?0 注意：limx?0xsin1x?0（无穷小量乘以有界变量等于无穷小量）

limx11x?0sinx?limx?0sinx?sinx?11?1，其中limsinxx?0x=1是第一个重要极限。xlimx?0x4.已知limx2?ax?bx?2x2?x?2?2，则a?_____, b?_____。 由所给极限存在知, 4?2a?b?0, 得b??2a?4, 又lx2?x?i2xmax?b2?x?2?lx?ix2m?a?2x?1?a?43?2, 知a?2,b??8

由

5.已知x?0时，(1?ax)?1与cosx?1是等价无穷小，则常数a= 123?1?ax?解. ?limx?022?1?limx?0cosx?1zy1232ax221?2323?x??1?ax???1?ax??223??a?1,?a??.

32??1??6.设x?z?y?()，其中?可微，则?z?y?z?1?z?y解 2z???y???

?yy2z?zy ??y2z????z= 。 ?y????7.设u?exyz2，其中z?z(x,y)由x?y?z?xyz?0确定的隐函数，则

?u?x(0,1)? 。

解

?u?z?exyz2?2zexy? ?x?x?z?1?yz?z?z ?yz?xy?0，??x1?xy?x?x1?0??u?1?yz?exyz2?2zex?y ?x1?xyx?0,y?1时，z??1

?z?x?1

(0,1)1?2z8.设z?f(xy)?y?(x?y),f,?具有二阶连续导数，则? 。

x?x?y解:

?z?1y?2f(xy)?f'(xy)?y?'(x?y)?xxx?2z?1'1 ?f(xy)?f'(xy)?yf''(xy)??'(x?y)?y?''(x?y) ?x?yxx?y[f''(xy)??''(x?y)]??'(x?y)9.函数f(x,y)?xy?xy?xy的可能极值点为 和 。

22??fx?y?y?2xy?y(1?2x?y)?0?x?0 解 ? ?2f?x?2xy?x?x(1?x?2y)?0?y?0??y2?x?0??y?1?x?1??y?01?x???3 ??y?1?3?fxx??2y，fxy?1?2y?2x，fyy??2x，H1?2y?2x???2y????1?2y?2x? ?2x???0(0,0) H???1?0(1,0) H????11???2?1?(0,1) H?不是，???不是 0??10???1?? 不是 ?2???2/3?1/3?1111(,) H??? 负定，极大值 （，） 3333??1/3?2/3?10.设f(x,y)?x2siny?(x2?1)|xy|则f'y(1,0)?_____________.

解：因为f(1,y)?siny，故fy?(1,0)?cosyy?0?1

211.xsin2xdx? .

?解：原式?1122xd(?cos2x)??xcos2x??xcos2xdx ?2211111??x2cos2x??xd(sin2x)??x2cos2x?xsin2x??sin2xdx

22222111??x2cos2x?xsin2x?cos2x?C.

224[0,?]上曲线y?cosx,y?sinx之间所围图形的面积为12.在区间 .

解：A?? ? 0cosx?sinxdx??4(cosx?sinx)dx???(sinx?cosx)dx

0 4 ? ??4?(sinx?cosx)0?(?cosx?sinx)??2?1?1?2?22.

4?1，则k?_________。 ?02??11b?kx?kx答案：∵??edx?lim??ed(?kx)

0b???2k01?kxb111??lime?kb? ?lim?e0b???kkb???kk∴k?2

13．若

??e?kxdx?14.设Ｄ：x?y?1,则由估值不等式得 ?

2222(x?4y?1)dxdy? ??D解 f(x,y)?x2?4y2?1?4(x2?y2)?1，又 D:x2?y2?1

?max{f(x,y)}?4?1?1?5，min{f(x,y)}?1

(x,y)?D(x,y)?D由m????f(x,y)d??M?，??SD???1??

D∴ ??I?5?

15.设D由y?x2,y?2x2,y?1,y?2围成（x?0），则两种积分次序为_______________和_______________.

?1?x?1???1?x?2解 D：（X—型）=D1+D2 ，D1?2 ， D2?2 ??1?y?2x2?x?y?2???f?x,y?d?在直角坐标系下的

DI??dx?12?1?y?2?D：（Y—型）?y?x???2112x2f(x,y)dy??1dx?xf(x,y)dy222

I??1dy?2yy2yf(x,y)dx

16.设D为0?y?1?x,0?x?1，则____.

??f?Dx2?y2dxdy的极坐标形式的二次积分为

???0???1???2sin??解： D：?，I??02d??0cos?f(r)rdr

1?0?r??sin??cos??17.设级数

?nn?1?12?p收敛，则常数p的最大取值范围是 .

解：由p级数的敛散性知，仅当2?p?1即p??1时，级数散.

?nn?1?12?p收敛，其他情形均发

x2x4x6????)dx? . 18.?x(1? 01!2!3! 1解

1：因

1为

2x2x4x61??????e?x1!2!3!，所以原积分

?xe0?x22112dx???e?xd(?x2)??e?x202101??(e?1?1)

2