(中南大学现代远程教育课程考试)高等数学复习题及答案 下载本文

所以,S(x)?ln(x?3), (3?x?5).

1?y29.求解 y??,y(1)?0; 3xy?xy解 原方程可化为

ydydx,两边积分得 ?2221?yx1?x??11x22ln1?y?ln?lnc1,即1?y21?x2?cx2,c?c12。由y?1??0得c?1,2221?x????????故1?y21?x2?x2即为所求。

????y??y?0,y(1)?. x2yyycosududx??, 两解 原式可化为y??tan??0,令?u,得xu???tanu,即

xxsinuxxcyc?边积分得 lnsinu??lnx?lnc,即sinu?,sin?,由y(1)?得c?1,故所

xxx2y1求特解为sin?。

xx10.求解xy??xtan11.求解4y???4y??y?0满足y?0??2,y??0??0.

?x1??,故通解为y??C1?C2x?e2,由

21?x21解 特征方程为4??4??1?0,?1,22y?0??2,y??0??0得C1?2,C2?1,故y??2?x?e12.求解y???3y??2y?2e满足y?0??1,y??0???1;

x为所求特解。

解 对应的齐次方程的通解为Y?C1e?C2ex2x,设特解为y?Axe代入原方程得

*xA??2,故原方程通解为y?C1ex?C2e2x?2xex,由y?0??1,y??0???1得

C1?1,C2?0,?y??1?2x?ex。

13.设二阶常系数线性微分方程y????y???y??e的一个特解为y?e定?,?,?,并求该方程的通解. 解 将y?e2xx2x试确??1?x?ex,

??1?x?ex,y??2e2x?ex??1?x?ex,y???4e2x?2ex??1?x?ex,代入

原方程得?4?2????e2x?4?2????0???3?2?????1?????x?ex??ex,故?3?2?????

?1?????0?????3,??2,???1,方程为y???3y??2y??ex,故通解为

y?C1ex?C2e2x?e2x??1?x?ex。

cos??sin?14.计算下列行列式sin?cos?, cos?解:sin?

?sin??cos2??sin2??1cos?

21

3?112

15.计算下列行列式50213?112解:5042361aa34236

1122

15622??3?50?005622

1215?2?3251bb3114060?50616.证明:

证:

c?(a?b?c)(b?a)(c?a)(c?b)c3

1aa31bb311c?0b?ac?a?(b?a)(c?a)b(b?a)c(c?a)32222c0b(b?a)c(c?a)1111

11?(b?a)(c?a)?(a?b?c)(b?a)(c?a)(c?b)0c(c?a)?b(b?a) ?101???2

17.设AX+E=A+X,且A=?020?,求X.

???101?

?201???22

解:由AX+E=A+X,得(A–E)X=A–E,而A–E可逆,故X=A+E=?030?.

???102?18.已知矩阵??a1?????b1??67?0b2?????63?,求常数a,b .?a0 ??? 解 因为

??a1??ba?b2??a0????1??ab?0b2?????aba???6???6 所以 a?3,ab?6,得b = 2 . 19. 将向量?表示成

?1,?2,?3的线性组合:

(1)?1?(1,1,?1),?2?(1,2,1),?3?(0,0,1),??(1,0,?2)

解:设

??k1?1?k2?2?k3?3,按分量展开得到

??k1?k2?1?k1?2k2?0 ???k1?k2?k3??2

求解得到

k2??1,k1?2,k3?1,即??2?1??2??3

20.问?,?取何值时,齐次方程组

???x1?x2?x3?0?x1??x2?x3?0 ??x1?2?x2?x3?0 有非零解?

解:齐次方程组有非零解的必要条件是系数行列式等于零,故

?1101???1??1?1?1?1?1???1??(1??)12?10?0?0???

即??0或??1齐次方程组有非零解。 21.设线性方程组

7?3?

?试问c为何值时,方程组有解?若方程组有解时,求一般解。

?2?111???1?21?1????0?53?1?

A???1?21?1???????1?32c???0?53c?1???12?11??? ?0?53?1 ??0c???00?可见,当c = 0时,方程组有解。且

1?10?5?3 A??01?5??000??原方程组的一般解为

3?5?1?? 5?0???

31?x??x??1553 ?(x3是自由未知量)

13?x??x23?55?22.求一个正交变换化下列二次型为标准型:

222f?2x?3x?3x?4x2x3 123(1)

解:对应的矩阵为

2??00?200???A??032?A??E?03??2?(2??)(5??)(1??)?0?023?023????,

特征值为

?1?2,?2?5,?3?1

??0?1??2?1??222?2?,标准型为f?2y1?5y2?y3

???1?P??0??0??正交矩阵为

0121223.某工人看管甲、乙、丙3台机器,在1小时内,这3台机器不需照管的概率分别为0.8,0.9,0.6,设这三台机器是否需照管是相互独立的,求在1小时内 (1)有机床需要工人照管的概率;(2) 机床因无人照管而停工的概率.

解:(1) 设Ai表示“甲、乙、丙三台机床无需照管”i=1, 2, 3,则有机床需要工人照管的

事件为A1A2A3,因而

P(A1A2A3)?1?P(A1)P(A2)P(A3)?1?0.8?0.9?0.6=0.568

(2) 以B表示“机床因无人照看而停工”

P(B)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)

=0.2×0.1×0.6+0.2×0.9×0.4+0.8×0.1×0.4+0.2×0.1×0.4 =0.124

24.设随机变量X的分布密度为f(x)?A1?x2(???x???)

求(1) 常数A; (2) X的分布函数; . 解:

(1) 由性质 即:

?????f(x)dx?1

???? ∴ A=

A???1?x2dx?A?arctanx1???A??1

?

(2) 由(1)知f(x)= ∴ F(x)= ? ?1

?1?x2x??1?f(x)dx??x??1?arctanx1dx

???1?x211??arctanx?? ??2x1?11?arctanx (–∞

(2)X与Y的边缘分布密度,并问它们是否相互独立? 解:(1)区域0≤x≤1,y≤x的面积A由图如示: 则:A?22

?10xdx?4/3

?122?,0?x?1,y?x?3/4,0?x?1,y?x依题意有:f(x,y)??A ???0,其它??0,其它 (2)∵fX(x)??????3?x3dy?x,0?x?1? f(x,y)dy????x42?其它?0,