fY(y)??????3?13dx?(1?y2),?1?y?1??y2 f(x,y)dy??44?其它?0,?3?32x,0?x?1??(1?y),?1?y?1∴ fX(x)??2 fY(y)??4

??其它其它?0,?0,又 ∵ fX(x)?fY(y)?f(x,y)

∴ X, Y不相互独立.

26．设X，Y是两个相互独立的随机变量，其概率密度分别为

?e?y,y?0?1,0?x?1 fY(y)?? fX(x)???0,y?0?0,其它求随机变量Z＝X＋Y的概率密度函数.

解：设Z的密度函数为fZ(z)，则由卷积公式得

fZ(z)??fY(z?x)dx??????01令z?x?tzz?1fY(t)dt

a) 当z<0时，fY(t)=0，∴fZ(z)=0 b) 当0≤z<1时，z-1<0，z≥0

0zfz(z)??z?10dt??e?tdt?1?e?z

0c) 当z≥1时，z-1≥0

fZ(z)??e?tdt?e1?z?e?z?(e?1)e?z

z?1z0,z?0???z0?z?1 综述：fZ(z)??1?e,?(e?1)e?z,z?1?27．一工厂生产的某种设备的寿命X（以年计）服从指数分布，密度函数为

x?1?14e?f(x)??4?0?0?xx?0

为确保消费者的利益，工厂规定出售的设备若在一年内损坏可以调换，若售出一台设备，工厂获利100元，而调换一台则损失200元.求工厂出售一台设备赢利的数学期望. 解：法一：P{X≥1}=

???1f(x)dx????1?1?4edx?e4，设Y表示厂方出售一台设备的赢利4x1数，则Y的分布律为

Y 100 –200 P e∴ E(Y)=100?e?14?14 1?e?14?14

?14?(?200)(1?e)?300e1x?200?33.64。

x??1?1? 法二：E(Y)=?(?200)?e4dx??100?e4dx

0144?x410?x4??1?14 =200e?100e?300e?200?33.64。

28.设随机变量（X，Y）服从正态分布，且X和Y分别服从正态分布N(1,32)

1XY和N(0,42)，X与Y的相关系数?XY??,Z??,求Z的数学期望E(Z)和方差

232D(Z)；

解： E(Z)=E?1111?XY?1???E(X)?E(Y)??1??0?；

2323?32?3??Y??XY???D???2cov?,? ??2??32? D(Z)=D??XY??X???D??32??31111D(X)?D(Y)?2??cov(X,Y)9432

11111????32??42???XY?D(X)?D(Y)?1?4??????3?4?39433?2??