14.仓库中有十箱同样规格的产品，已知其中有五箱、三箱、二箱依次为甲、乙、丙厂生产的，且甲厂，乙厂、丙厂生产的这种产品的次品率依次为1/10,1/15,1/20.从这十箱产品中任取一件产品，求取得正品的概率。 解：0.92

15.有两箱同类零件，第一箱有50个，其中10个一等品，第二箱有30个，其中18个一等品。现任取一箱，从中任取零件两次，每次取一个，取后不放回。求：（1）第二次取到的零件是一等品的概率；（2）在第一次取到一等品的条件下，第二次取到一等品的条件概率；（3）两次取到的都不是一等品的概率。 解：设 A表示取到第一箱零件， )：表示第ｉ次取到一等品， Bi (i ? 1,2由全概率公式知：

(B)?P(A)P(BBA)?P(A)P(BB1A)?P(A)P(BBA)?P(A)P(BB1A)P2122122 211211CCCCCC101040181812 ?0.5(2??2?)?0.422CACA50503030

P(B2B1)?P(B1B2)P(B1B2A)P(A)?P(B1B2A)P(A)?P(B1)P(B1A)P(A)?P(B1A)P(A)2?2)C50C30?0.48560.5(0.2?0.6)2C182C100.5(

?

22C40C12P(B1B2)?P(A)P(B1B2A)?P(A)P(B1B2A)?0.5(2?2)?0.3942C50C3016.设有甲乙两袋，甲袋中有n只白球、m只红球；乙袋中有N只白球、M只红球.今从甲袋中任取一球放入乙袋中，再从乙袋中任取一球.问从乙袋中取到白球的概率是多少？ 解：记 A1：甲袋中取得白球；A2：甲袋中取得红球；B：从乙袋中取得白球； 由全概率公式

P(B)?P[(A1 ?A2)B]?P(A1BA2B)

?P(B|A1)P(A1)?P(B|A2)P(A2)N?1nNm?M?N?1m?nM?N?1m?n

17.一箱产品，A，B两厂生产分别个占60％，40％，其次品率分别为1％，2％。现在从中任取一件为次品，问此时该产品是哪个厂生产的可能性最大？ 解：取出产品是B厂生产的可能性大。

18.由以往的临床记录，某种诊断癌症的试验具有如下效果：被诊断者有癌症，试验反应为阳性的概率为0.95；被诊断者没有癌症，试验反应为阴性的概率为0.95

行普查，设被试验的人群中患有癌症的概率为0.005，求：已知试验反应为阳性，该被诊断者确有癌症的概率.

5

解 设A表示“患有癌症”，A表示“没有癌症”，B表示“试验反应为阳性”，则由条件得

P（A）=0.005,

P(A)=0.995， P(B｜A)=0.95, P(B｜A）=0.95

由此 P（B｜A）=1-0.95=0.05由贝叶斯公式得

P（A｜B）=

P(A)P(BA)P(A)P(BA)?P(A)P(BA)=0.087.

19.设每次射击的命中率为0.2，问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概率不小于0.9?

解 设必须进行n次独立射击.

1?(0.8)n?0.9

即为 (0.8)?0.1 故 n≥11 至少必须进行11次独立射击.

20.三人独立地破译一个密码，他们能破译的概率分别为1/5， 1/3， 1/4，求将此密码破译出的概率.

解 设Ai={第i人能破译}（i=1,2,3），则

nP(Ai)?1?P(A1A2A3)?1?P(A1)P(A2)P(A3)

i?13 ?1?423???0.6 534

21.设在N件产品中有M件次品，现进行n次有放回的检查抽样，试求抽得k件次品的概 率.

解 由条件，这是有放回抽样，可知每次试验是在相同条件下重复进行，故本题符合n重贝努里试验的条件，令A表示“抽到一件次品”的事件.则

P（A）=p=M/N,

以Pn(k)表示n次有放回抽样中，有k次出现次品的概率，由贝努里概型计算公式，可知

Pn(k)=Cn(kMkM)(1?)n?k, k=0,1,2,…，n. NN

22.将一枚均匀硬币掷2n次，求出现正面次数多于反面次数的概率.

6

解 掷2n次硬币，可能出现：A={正面次数多于反面次数}，B={正面次数少于反面次数}，

C={正面次数等于反面次数}，A，B，C两两互斥.

可用对称性来解决.由于硬币是均匀的，故P（A）=P（B）.所以

P(A)?1?P(C) 2由2n重贝努里试验中正面出现n次的概率为

n1n1nP(C)?C2n()()

2211n 故 P(A)?[1?C2n2n]

22

习 题 二

1.从一批有10个合格品与3个次品的产品中一件一件地抽取产品，各种产品被抽到的可能性相同，求在二种情况下，直到取出合格品为止，所求抽取次数的分布律： （1）放回；（2）不放回. 解 （1）P{X?K}?(3/13)k?1(10/13)

（2） 1 2 3 4 X

P 10/13 (3/13)(10/12) (3/13)(2/12)(10/11) (3/13)(2/12)(1/11)

2.设随机变量X的分布律为

P{X=k}=a?kk!，

其中k=0，1，2，…，λ＞0为常数，试确定常数a. 解 由分布律的性质知

1??P(X?k)?a?k?0k?0???kk!???ae?

故 a?e

3.某大学的校乒乓球队与数学系乒乓球队举行对抗赛.校队的实力较系队为强，当一个校队运动员与一个系队运动员比赛时，校队运动员获胜的概率为0.6.现在校、系双方商量对抗赛的方式，提了三种方案： （1）双方各出3人；（2）双方各出5人；（3）双方各出7人.

三种方案中均以比赛中得胜人数多的一方为胜利.问：对系队来说，哪一种方案有利？

解 设系队得胜人数为X，则在上述三种方案中，系队胜利的概率为

（1） P{X≥2}=

?C(0.4)k3k?23k(0.6)3?k≈0.352；

7

(2) P{X≥3}=

?C(0.4)k5k?35k(0.6)5?k≈0.317；

(3) P{X≥4}=

?C(0.4)k7k?47k(0.6)7?k≈0.290.

因此第一种方案对系队最为有利.这在直觉上是容易理解的，因为参赛人数越少，系队侥幸获胜的可能性也就越大.

4.一篮球运动员的投篮命准率为45%，以X表示他首次投中时累计已投篮的次数，写出X的分布律，并计算X取偶数的概率. 解：随机变量X所有可能的取值为:1,2,分布律为：

,n,，

P(X?k)?(1?0.45)k?10.45?k?1,2,,n,,

{X取偶数}?k?1{X?2k}：一列互不相容的事件的和，

?P{X?2k}?0.550.45?11/31. 所以P{X取偶数}?P[{X?2k}]?i?1i?1k?1

5.某十字路口有大量汽车通过，假设每辆汽车在这里发生交通事故的概率为0.001，如果每天有5000辆汽车通过这个十字路口，求发生交通事故的汽车数不少于2的概率.

解 设X表示发生交通事故的汽车数，则X~b(n,p),此处n=5000，p=0.001，令λ=np=5，

P{X≥2}=1-P{X＜2}=1-

????2k?1?P?X?k?

k?01=1-(0.999)5000-5(0.999)4999

50e?55e?5?≈1?. 0!1!查表可得

P{X≥2}=1-0.00674-0.03369=0.95957.

6.设在独立重复实验中，每次实验成功概率为0.5，问需要进行多少次实验，才能使至少成功一次的概率不小于0.9。

解 n?4

7.设随机变量X分布函数为

?A?Be??t,x?0,(??0), F（x）=?x?0.?0,（1） 求常数A，B；

（2） 求P{X≤2}，P{X＞3}； （3） 求分布密度f（x）.

8