概率论与数理统计习题答案(廖茂新复旦版) 下载本文

14.仓库中有十箱同样规格的产品,已知其中有五箱、三箱、二箱依次为甲、乙、丙厂生产的,且甲厂,乙厂、丙厂生产的这种产品的次品率依次为1/10,1/15,1/20.从这十箱产品中任取一件产品,求取得正品的概率。 解:0.92

15.有两箱同类零件,第一箱有50个,其中10个一等品,第二箱有30个,其中18个一等品。现任取一箱,从中任取零件两次,每次取一个,取后不放回。求:(1)第二次取到的零件是一等品的概率;(2)在第一次取到一等品的条件下,第二次取到一等品的条件概率;(3)两次取到的都不是一等品的概率。 解:设 A表示取到第一箱零件, ):表示第i次取到一等品, Bi (i ? 1,2由全概率公式知:

(B)?P(A)P(BBA)?P(A)P(BB1A)?P(A)P(BBA)?P(A)P(BB1A)P2122122 211211CCCCCC101040181812 ?0.5(2??2?)?0.422CACA50503030

P(B2B1)?P(B1B2)P(B1B2A)P(A)?P(B1B2A)P(A)?P(B1)P(B1A)P(A)?P(B1A)P(A)2?2)C50C30?0.48560.5(0.2?0.6)2C182C100.5(

?

22C40C12P(B1B2)?P(A)P(B1B2A)?P(A)P(B1B2A)?0.5(2?2)?0.3942C50C3016.设有甲乙两袋,甲袋中有n只白球、m只红球;乙袋中有N只白球、M只红球.今从甲袋中任取一球放入乙袋中,再从乙袋中任取一球.问从乙袋中取到白球的概率是多少? 解:记 A1:甲袋中取得白球;A2:甲袋中取得红球;B:从乙袋中取得白球; 由全概率公式

P(B)?P[(A1 ?A2)B]?P(A1BA2B)

?P(B|A1)P(A1)?P(B|A2)P(A2)N?1nNm?M?N?1m?nM?N?1m?n

17.一箱产品,A,B两厂生产分别个占60%,40%,其次品率分别为1%,2%。现在从中任取一件为次品,问此时该产品是哪个厂生产的可能性最大? 解:取出产品是B厂生产的可能性大。

18.由以往的临床记录,某种诊断癌症的试验具有如下效果:被诊断者有癌症,试验反应为阳性的概率为0.95;被诊断者没有癌症,试验反应为阴性的概率为0.95

行普查,设被试验的人群中患有癌症的概率为0.005,求:已知试验反应为阳性,该被诊断者确有癌症的概率.

5

解 设A表示“患有癌症”,A表示“没有癌症”,B表示“试验反应为阳性”,则由条件得

P(A)=0.005,

P(A)=0.995, P(B|A)=0.95, P(B|A)=0.95

由此 P(B|A)=1-0.95=0.05由贝叶斯公式得

P(A|B)=

P(A)P(BA)P(A)P(BA)?P(A)P(BA)=0.087.

19.设每次射击的命中率为0.2,问至少必须进行多少次独立射击才能使至少击中一次的概率不小于0.9?

解 设必须进行n次独立射击.

1?(0.8)n?0.9

即为 (0.8)?0.1 故 n≥11 至少必须进行11次独立射击.

20.三人独立地破译一个密码,他们能破译的概率分别为1/5, 1/3, 1/4,求将此密码破译出的概率.

解 设Ai={第i人能破译}(i=1,2,3),则

nP(Ai)?1?P(A1A2A3)?1?P(A1)P(A2)P(A3)

i?13 ?1?423???0.6 534

21.设在N件产品中有M件次品,现进行n次有放回的检查抽样,试求抽得k件次品的概 率.

解 由条件,这是有放回抽样,可知每次试验是在相同条件下重复进行,故本题符合n重贝努里试验的条件,令A表示“抽到一件次品”的事件.则

P(A)=p=M/N,

以Pn(k)表示n次有放回抽样中,有k次出现次品的概率,由贝努里概型计算公式,可知

Pn(k)=Cn(kMkM)(1?)n?k, k=0,1,2,…,n. NN

22.将一枚均匀硬币掷2n次,求出现正面次数多于反面次数的概率.

6

解 掷2n次硬币,可能出现:A={正面次数多于反面次数},B={正面次数少于反面次数},

C={正面次数等于反面次数},A,B,C两两互斥.

可用对称性来解决.由于硬币是均匀的,故P(A)=P(B).所以

P(A)?1?P(C) 2由2n重贝努里试验中正面出现n次的概率为

n1n1nP(C)?C2n()()

2211n 故 P(A)?[1?C2n2n]

22

习 题 二

1.从一批有10个合格品与3个次品的产品中一件一件地抽取产品,各种产品被抽到的可能性相同,求在二种情况下,直到取出合格品为止,所求抽取次数的分布律: (1)放回;(2)不放回. 解 (1)P{X?K}?(3/13)k?1(10/13)

(2) 1 2 3 4 X

P 10/13 (3/13)(10/12) (3/13)(2/12)(10/11) (3/13)(2/12)(1/11)

2.设随机变量X的分布律为

P{X=k}=a?kk!,

其中k=0,1,2,…,λ>0为常数,试确定常数a. 解 由分布律的性质知

1??P(X?k)?a?k?0k?0???kk!???ae?

故 a?e

3.某大学的校乒乓球队与数学系乒乓球队举行对抗赛.校队的实力较系队为强,当一个校队运动员与一个系队运动员比赛时,校队运动员获胜的概率为0.6.现在校、系双方商量对抗赛的方式,提了三种方案: (1)双方各出3人;(2)双方各出5人;(3)双方各出7人.

三种方案中均以比赛中得胜人数多的一方为胜利.问:对系队来说,哪一种方案有利?

解 设系队得胜人数为X,则在上述三种方案中,系队胜利的概率为

(1) P{X≥2}=

?C(0.4)k3k?23k(0.6)3?k≈0.352;

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(2) P{X≥3}=

?C(0.4)k5k?35k(0.6)5?k≈0.317;

(3) P{X≥4}=

?C(0.4)k7k?47k(0.6)7?k≈0.290.

因此第一种方案对系队最为有利.这在直觉上是容易理解的,因为参赛人数越少,系队侥幸获胜的可能性也就越大.

4.一篮球运动员的投篮命准率为45%,以X表示他首次投中时累计已投篮的次数,写出X的分布律,并计算X取偶数的概率. 解:随机变量X所有可能的取值为:1,2,分布律为:

,n,,

P(X?k)?(1?0.45)k?10.45?k?1,2,,n,,

{X取偶数}?k?1{X?2k}:一列互不相容的事件的和,

?P{X?2k}?0.550.45?11/31. 所以P{X取偶数}?P[{X?2k}]?i?1i?1k?1

5.某十字路口有大量汽车通过,假设每辆汽车在这里发生交通事故的概率为0.001,如果每天有5000辆汽车通过这个十字路口,求发生交通事故的汽车数不少于2的概率.

解 设X表示发生交通事故的汽车数,则X~b(n,p),此处n=5000,p=0.001,令λ=np=5,

P{X≥2}=1-P{X<2}=1-

????2k?1?P?X?k?

k?01=1-(0.999)5000-5(0.999)4999

50e?55e?5?≈1?. 0!1!查表可得

P{X≥2}=1-0.00674-0.03369=0.95957.

6.设在独立重复实验中,每次实验成功概率为0.5,问需要进行多少次实验,才能使至少成功一次的概率不小于0.9。

解 n?4

7.设随机变量X分布函数为

?A?Be??t,x?0,(??0), F(x)=?x?0.?0,(1) 求常数A,B;

(2) 求P{X≤2},P{X>3}; (3) 求分布密度f(x).

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