概率论与数理统计习题答案(廖茂新复旦版) 下载本文

?103106?1 =?3?2?3?dy?1?

10zy?2z?y??1?1??2z,z?1,??z即 fZ(z)??,0?z?1,

2?其他.?0,???1?2z2,z?1,??1故 fZ(z)??,0?z?1,

2?其他.?0,??

习 题 五

1. 公共汽车起点站于每小时的10分,30分,55分发车,该顾客不知发车时间,在每小时内的任一时刻随机到达车站,求乘客候车时间的数学期望(准确到秒)。

解 10分25秒

2.对球的直径作近似测量,设其值均匀分布在区间[a,b]内,求球体积的数学期望. 解 设随机变量X表示球的直径,Y表示球的体积,依题意,X的概率密度为

?1?,a?x?b,f(x)=?b?a

?其他.?0,球体积Y=

1πX3,由(4.6)式得 6E(Y)=E(πX)?=

163131?a6πxb?adx

b6(b?a)?a?bx3dx?π(a?b)(a2?b2). 243.设排球队A与B比赛,若有一队胜4场,则比赛宣告结束,假设A,B在每场比赛中获胜的概率均为1/2,试求平均需比赛几场才能分出胜负?

解:平均需赛6场

4.一袋中有n张卡片,分别记为1,2,﹒﹒﹒,n,从中有放回地抽取出k张来,以X表

21

示所得号码之和,求E(X),D(X)。

k(n?1)k(n2?1),D(X)?解 E(X)? ; 2125.盒中有7个球,其中4个白球,3个黑球,从中任抽3个球,求抽到白球数X的数学期望

E(X)和方差D(X)。

解E(X)?12,7D(X)?24 496.设二维连续型随机变量(X ,Y)的联合概率密度为:f (x ,y)=?求:① 常数k.. ② E?XY?及D(XY). 解k = 2, E(XY)=1/4, D(XY)=7/144

?k,0?x?1,0?y?x

0,其他?7.设二维随机变量(X,Y)在区域A上服从均匀分布,其中A为x轴,y轴及直线x+所围成的三角区域,求E(X),E(Y),E(XY).

解 由于(X,Y)在A内服从均匀分布,所以其概率密度

y =121?,(x,y)?A,?1,(x,y)?A,???f(x,y)=?A的面积

?(x,y)?A,?0,(x,y)?A.?0,E(X)=

????????????????xf(x,y)dxdy???xdxdy??dx?A0212(1?x)01?1xdy?;

32dx?;

3E(Y)=

????yf(x,y)dxdy???ydxdy??ydy?A0y20E(XY)=

??????????xyf(x,y)dxdy??xdx?012(1?x)011ydy?2?x(1?x)2dx?.

06

8.设随机变量X的概率密度为

?1?x,?1?x?0,?f(x)=?1?x,0?x?1,

?0,其他.?求E(X)和D(X). 解 E(X)=

?0?1x(1?x)dx??x(1?x)dx =0,

01E(X)=

2

?0?1x(1?x)dx??x2(1?x)dx=1/6,

021于是 D(X)=E(X2)-[E(X)]2=1/6.

9.对随机变量X和Y,已知D(X)=2,D(Y)=3,Cov(X,Y)=-1, 计算:Cov(3X-2Y+1,X+4Y-3).

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解 Cov(3X?2Y?1,X?4Y?3)?3D(X)?10Cov(X,Y)?8D(Y) ?3?2?10?(?1)?8?3??28 (因常数与任一随机变量独立,故Cov(X,3)=Cov(Y,3)=0,其余类似). 10.设X服从[0,2π]上均匀分布,Y=cosX,Z=cos(X+a),这里a是常数.求ρYZ.

112π解 E(Y)=?cosx?dx=0, E(Z)= cos(x?a)dx =0,

02π2π?012π21D(Y)=E{[Y-E(Y)]2}=, cosxdx??02π212π12D(Z)=E{[Z-E(Z)]2}=, cos(x?a)dx??02π212π1Cov(Y,Z)=E{[Y-E(Y)][Z-E(Z)]}= cosx?cos(x?a)dx?cosa,

2π?021cosacov(Y,Z)2??cosa. 因此 ρYZ=

D(Y)?D(Z)1?1222π① 当a=0时,ρYZ=1,Y=Z,存在线性关系;

② 当a=π时,ρYZ=-1,Y=-Z,存在线性关系; ③ 当a=

π3π或时,ρ

22YZ=0,这时

Y与Z不相关,但这时却有Y2+Z2=1,因此,Y与Z

不独立.

11.设随机变量(X,Y)的分布律为 X Y -1 0 1 -1 0 1 1/8 1/8 1/8 1/8 0 1/8 1/8 1/8 1/8 验证X和Y是不相关的,但X和Y不是相互独立的. 解 联合分布表中含有零元素,X与Y显然不独立,由联合分布律易求得X,Y及XY的分布律,其分布律如下

X 1 ??1 0 P

Y P

XY P ??1 0 1 ??1 0 1 3 82 83 83 82 83 82 84 82 8 23

由期望定义易得E(X)=E(Y)=E(XY)=0. 从而E(XY)=E(X)·E(Y),再由相关系数性质知ρXY=0, 即X与Y的相关系数为0,从而X和Y是不相关的. 又P{X??1}P{Y??1}?331???P{X??1,Y??1} 888从而X与Y不是相互独立的.

12.设二维随机变量(X,Y)在以(0,0),(0,1),(1,0)为顶点的三角形区域上服从均匀分布,求Cov(X,Y),ρXY. 解 如图,SD=

12,故(X,Y)的概率密度为

题12图

f(x,y)???2,(x,y)?D,?0,其他. E(X)???xf(x,y)dxdy??1dx1?xD0?0x2dy?13

E(X2)???x2f(x,y)dxdy??1dx?1?x2x2dy?1D006

2从而D(X)?E(X2)?[E(X)]2?16???1??3???118.

同理E(Y)?13,D(Y)?118. 而 E(XY)???xyf(x,y)dxdy???2xydxdy??1dx?1?xDD002xydy?112.所以

Cov(X,Y)?E(XY)?E(X)E(Y)?112?13?13??136. ?1从而 ?,Y)XY?Cov(X36D(X)D(Y)?1??118?12

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