13.设（X，Y）的概率密度为

1ππ??sin(x?y),0?x?,0?y?,f（x，y）=?222

?其他.?0,求协方差Cov（X，Y）和相关系数ρ解 E(X)?XY. π/2????2??????π20xf(x,y)dxdy??dx?π2020dx?π/20x1πsin(x?y)dy?. 24 E(X)?从而

?1π2πxsin(x?y)dy???2. 282π2πD(X)?E(X)?[E(X)]???2.

16222ππ2π??2. 同理 E(Y)?,D(Y)?4162又 E(XY)??π/20dx?π/20πxysin(x?y)dxdy??1,

2?π?ππ故 CovX(Y,?)EX(Y?)EX()E?Y()????1??2?442π?4?????? ?4?2.?XY??π?4????Cov(X,Y)(π?4)2π2?8π?164???2??2??2.

ππ?8π?32π?8π?32D(X)D(Y)π??2162

习 题 六

1. 设X是掷一颗骰子所出现的点数，若给定ε=1,2，实际计算P{|X-E（X）|≥ε}，并验证契比雪夫不等式成立.

解 因为X的概率函数是P{X=k}=1/6（k=1，2，…，6），所以

E（X）=7/2, D（X）=35/12,

P{|X-7/2|≥1=P{X=1}+P{X=2}+P{X=5}+P{X=6}=2/3;

P{|X-7/2|}≥2}=P{X=1}+P{X=6}=1/3.

ε=1： ε=2：

可见契比雪夫不等式成立.

25

D(X)?2=35/12>2/3,

D(X)?2=1/4×35/12=35/48>1/3.

2. 假设一条生产线生产的产品合格率是0.8.要使一批产品的合格率达到在76%与84%之间的概率不小于90%，问这批产品至少要生产多少件？ 【解】令Xi??1,若第i个产品是合格品,?0,其他情形.

而至少要生产n件，则i=1,2,…,n,且

X1，X2，…，Xn独立同分布，p=P{Xi=1}=0.8. 现要求n,使得

P{0.76?即

?Xi?1nin?0.84}?0.9.

Xi?0.8n?0.76n?0.8n0.84n?0.8nP{?i?1?}?0.9

n?0.8?0.2n?0.8?0.2n?0.8?0.2由中心极限定理得

n?0.84n?0.8n??0.76n?0.8n?????????0.9,

0.16n?0.16n???整理得???n?n?1.64, ?0.95,查表?10??10??n≥268.96, 故取n=269.

3. 某车间有同型号机床200部，每部机床开动的概率为0.7，假定各机床开动与否互不影响，开动时每部机床消耗电能15个单位.问至少供应多少单位电能才可以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产.

【解】要确定最低的供应的电能量，应先确定此车间同时开动的机床数目最大值m，而m

要满足200部机床中同时开动的机床数目不超过m的概率为95%,于是我们只要供应15m单位电能就可满足要求.令X表同时开动机床数目，则X~B（200，0.7）,

E(X)?140,D(X)?42,

0.95?P{0?X?m}?P(X?m)???m?140?.

???42?查表知

m?140?1.64, ,m=151. 42所以供电能151×15=2265（单位）.

4.一个螺丝钉重量是一个随机变量，期望值是1两，标准差是0.1两.求一盒（100个）同型号螺丝钉的重量超过10.2斤的概率.

26

解 设一盒重量为X，盒中第i个螺丝钉的重量为Xi(i=1,2,…,100).X1，X2，…，X100相互独立，E（Xi）=1，D(Xi) =0.1，则有 X=

?Xi?1100i，且E（X）=100·E（Xi）=100（两），D(Xi)=1（两）.

根据中心极限定理，有

P{X>102}=P??X?100102?100????1?P{X?100?2} 11??≈1-Φ(2)=1-0.977250=0.022750.

5. 10部机器独立工作，每部停机的概率为0.2，求3部机器同时停机的概率.

解 10部机器中同时停机的数目X服从二项分布，n=10,p=0.2,np=2,npq≈1.265. (1) 直接计算：P{X=3}=C10×0.23×0.87≈0.2013; (2) 若用局部极限定理近似计算：

3?k?np?13?2?1??1?????P{X=3}=???1.265?1.265?1.265?(0.79)=0.2308. npq?npq??(2)的计算结果与（1）相差较大，这是由于n不够大.

6. 在一定保险公司里有10000人参加保险，每人每年付12元保险费，在一年内一个人死亡的概率为0.006,死亡者其家属可向保险公司领得1000元赔偿费.求： （1） 保险公司没有利润的概率为多大；

（2） 保险公司一年的利润不少于60000元的概率为多大？

【解】设X为在一年中参加保险者的死亡人数，则X~B（10000，0.006）.

(1) 公司没有利润当且仅当“1000X=10000×12”即“X=120”. 于是所求概率为

P{X?120}?1?120?10000?0.006????

10000?0.006?0.994?10000?0.006?0.994?1?(60/1e259.6459.64)211?60?????? 59.64?59.64?2??0.0517?e?30.1811?0(2) 因为“公司利润≥60000”当且仅当“0≤X

于是所求概率为

?60?10000?0.006??0?10000?0.006?P{0?X?60}????????

?10000?0.006?0.994??10000?0.006?0.994? ??(0)??????60???0.5. 59.64?27