生活中的优化问题举例

教学目标：

1．使利润最大、用料最省、效率最高等优化问题，体会导数在解决实际问题中的作用 2．提高将实际问题转化为数学问题的能力 教学重点：利用导数解决生活中的一些优化问题． 教学难点：利用导数解决生活中的一些优化问题． 教学过程： 一．创设情景

生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．这一节，我们利用导数，解决一些生活中的优化问题． 二．新课讲授

导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：

1、与几何有关的最值问题； 2、与物理学有关的最值问题； 3、与利润及其成本有关的最值问题； 4、效率最值问题。

解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．

利用导数解决优化问题的基本思路：

优化问题 建立数学模型 用函数表示的数学问题 解决数学模型 优化问题的答案 作答 用导数解决数学问题

三．典例分析

例1．海报版面尺寸的设计

学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传。现让你设计一张如图1.4-1所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为128dm2,上、下两边各空2dm,左、右两边各空1dm。如何设计海报的尺寸，才能使四周空心面积最小？ 解：设版心的高为xdm，则版心的宽为

128dm,此时四周空白面积为 x。?x8,

128 S(x)?(x?4)(?x 求导数，得

512?2)?128?x2?x0512。 2x512令S'(x)?2?2?0，解得x?16(x??16舍去）。

x128128于是宽为??8。

x16S'(x)?2?当x?(0,16)时，S'(x)<0；当x?(16,??)时，S'(x)>0.

因此，x?16是函数S(x)的极小值，也是最小值点。所以，当版心高为16dm，宽为8dm时，能使四周空白面积最小。

答：当版心高为16dm，宽为8dm时，海报四周空白面积最小。 例2．饮料瓶大小对饮料公司利润的影响

（1）你是否注意过，市场上等量的小包装的物品一般比大包装的要贵些？ （2）是不是饮料瓶越大，饮料公司的利润越大？

【背景知识】：某制造商制造并出售球型瓶装的某种饮料．瓶子的制造成本是

0.?8r2分，其中 r 是瓶子的半径，单位是厘米。已知每出售1 mL的饮料，制造商可获利 0.2

分,且制造商能制作的瓶子的最大半径为 6cm

问题：（1）瓶子的半径多大时，能使每瓶饮料的利润最大？ （2）瓶子的半径多大时，每瓶的利润最小？

解：由于瓶子的半径为r，所以每瓶饮料的利润是

4??r3?0.?r82? y?f?r??0.23?r3?2?0.8?r???3??r,?0 6令f??r??0.8?(r2?2r)?0 解得 r?2（r?0舍去） 当r??0,2?时，f??r??0；当r??2,6?时，f??r??0．

当半径r?2时，f??r??0它表示f?r?单调递增，即半径越大，利润越高； 当半径r?2时，f??r??0 它表示f?r?单调递减，即半径越大，利润越低．

（1）半径为2cm 时，利润最小，这时f?2??0，表示此种瓶内饮料的利润还不够瓶子的成本，此时利润是负值．

（2）半径为6cm时，利润最大．

换一个角度：如果我们不用导数工具，直接从函数的图像上观察，会有什么发现？ 有图像知：当r?3时，f?3??0，即瓶子的半径为3cm时，饮料的利润与饮料瓶的成本恰好相等；当r?3时，利润才为正值．

当r??0,2?时，f??r??0，f?r?为减函数，其实际意义为：瓶子的半径小于2cm时，瓶子的半径越大，利润越小，半径为2cm 时，利润最小．

例3．磁盘的最大存储量问题

计算机把数据存储在磁盘上。磁盘是带有磁性介质的圆盘，并有操作系统将其格式化成磁道和扇区。磁道是指不同半径所构成的同心轨道，扇区是指被同心角分割所成的扇形区域。磁道上的定长弧段可作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据0或1，这个基本单元通常被称为比特（bit）。

为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必需大于m，每比特所占用的磁道长度不得小于

n。为了数据检索便利，磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数。

问题：现有一张半径为R的磁盘，它的存储区是半径介于r与R之间的环形区域． （1） 是不是r越小，磁盘的存储量越大？

（2） r为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任何信息）？ 解：由题意知：存储量=磁道数×每磁道的比特数。

设存储区的半径介于r与R之间，由于磁道之间的宽度必需大于m，且最外面的磁道不存

R?r。由于每条磁道上的比特数相同，为获得最大存储量，m2?r最内一条磁道必须装满，即每条磁道上的比特数可达。所以，磁盘总存储量

nR?r2?r2?×?r(R?r) f(r)?mmnn储任何信息，故磁道数最多可达

（1）它是一个关于r的二次函数，从函数解析式上可以判断，不是r越小，磁盘的存储量越大．