考查角度2 三种常用的数列求和方法

分类透析一 分组转化法求和

例1 已知等差数列{an}满足a2=2,a1+a4=5. (1)求数列{an}的通项公式;

(2)若数列{bn}满足b1=3,b2=6,{bn-an}为等比数列,求数列{bn}的前n项和Tn.

分析 (1)利用已知条件求出等差数列{an}的通项公式;(2)因为{bn-an}为等比数列,所以数列{bn}的前n项和Tn可以看成数列{bn-an}的前n项和与数列{an}的前n项和的总和.

解析 (1)设等差数列{an}的公差为d, ∵等差数列{an}满足a2=2,a1+a4=5,

∴ 解得a1=d=1,

∴an=1+(n-1)×1=n.

(2)设等比数列{bn-an}的公比为q,∵b1=3,b2=6, ∴b1-a1=3-1=2,b2-a2=6-2=4, ∴q=2.

∴bn-an=2×2n-1=2n, ∴bn=n+2n,

∴数列{bn}的前n项和Tn=(1+2+3+…+n)+(2+2+…+2)=2

n -

+ -

=

+2n+1-2.

方法技巧 从求和数列的通项入手,将其转化为等差数列与等比数列的和或差的形式,再利用等差数列与等比数列的求和公式进行分组求和.

分类透析二 错位相减法求和

例2 已知{an}的前n项和Sn=4n-n2+4. (1)求数列{an}的通项公式;

(2)求数列

-

的前n项和Tn.

分析 (1)由{an}的前n项和求出数列{an}的通项公式;(2)利用错位相减法求和即可(当n=1时要单独考虑).

解析 (1)当n≥2时,an=Sn-Sn-1=4n-n2-[4(n-1)-(n-1)2]=5-2n; 当n=1时,a1=S1=7.

∴an=

-

(2)令bn=

-

,

当n=1时,T1=b1=当n≥2时,bn=

-

-

=0;

-

=,

-

∴Tn=0+ + + +…+

+ -

,

Tn= + + +…+

+, -

两式相减得Tn=1++ +…+-= -

- -

- =2- ,

∴Tn=4-

-

(n≥2 .

当n=1时,满足上式. 综上所述,Tn=4- -

.

方法技巧 用错位相减法求和时,应注意:

(1)要善于识别题目类型,特别是等比数列的公比为负数的情形; (2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式;

(3)在应用错位相减法求和时,若等比数列的公比未知,应分公比等于1和不等于1两种情况求解.

分类透析三 an= 型的裂项相消法求和

例3 已知数列{an}为单调递增数列,Sn为其前n项和,2Sn= +n.

(1)求{an}的通项公式. (2)若bn=

,Tn为数列{bn}的前n项和,证明:Tn<.

分析 (1)由递推公式2Sn= +n求出{an}的通项公式;(2)先用裂

项相消法求和,再进行适当放缩证明.

解析 (1)当n=1时,2S1=2a1= +1,即(a1-1)2=0,解得a1=1.

又{an}为单调递增数列,所以an≥1.

由2Sn= +n得2Sn+1= +n+1, 所以2Sn+1-2Sn= - +1,

整理得2an+1= - +1,所以 =(an+1-1)2.

所以an=an+1-1,即an+1-an=1,

所以{an}是以1为首项,1为公差的等差数列,所以an=n.

(2)bn=所以

= = - ,

Tn= - + - +…+ - = - < .

方法技巧 (1)用裂项相消法求和时,抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项,也有可能前面剩两项,后面也剩两项,或者前面剩几项,后面也剩几项.

(2)将通项裂项后,有时需要调整前面的系数,使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等.如:若{an}是等差数列,则

= -

,

= -

.

分类透析四 an=

型的裂项相消法求和

例4 已知数列{an}的首项为a1=1,且(an+1)an+1=an,n∈N*. (1)求证:数列 是等差数列.

(2)设bn= ,求数列{bn}的前n项和Tn.

分析 (1)通过递推公式(an+1)an+1=an证明数列 是等差数列;(2)

将bn= 裂项,再求和.

解析 (1)由an+1=以=1.

,得

=

= +1,则

- =1,又a1=1,所

所以数列 是以1为首项,1为公差的等差数列.

(2)由(1)可知,=n,故an=.

又bn= = = - = - , 所以Tn=b1+b2+b3+…+bn

= - + - + - +…+

- =1- .

方法技巧 本题主要考查等差数列的定义与通项公式,以及裂项

相消法求数列的和,属于中档难度题.常见的裂项技巧:

(1)

= - ;