§1.1 集合及其运算
最新考纲 1.了解集合的含义，体会元素与集合的属于关系． 2.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题． 考情考向分析 集合的交、并、补运算及两集合间的包含关系是考查的重点，3.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集． 在集合的运算中经常4.在具体情境中，了解全集与空集的含义． 5.理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集． 6.理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集． 7.能使用韦恩(Venn)图表达集合的基本关系及集合的基本运算. 与不等式、函数相结合，解题时常用到数轴和韦恩(Venn)图，考查学生的数形结合思想和计算推理能力，题型以选择题为主，低档难度.
1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或?表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法
集合 符号
自然数集 N 正整数集 N＋(或N) *整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 2.集合间的基本关系
关系 自然语言 集合A中所有元素都是集合B中的元素(即若x∈A，则x∈B) 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中 集合A，B中的元素相同或集合A，B互为子集 符号语言 Venn图 子集 A?B(或B?A) A?B(或B?A) A＝B 真子集 集合相等
3.集合的基本运算
运算 交集 自然语言 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合 符号语言 A∩B＝{x|x∈A且x∈B} Venn图 A∪B＝{x|x∈A或x∈B} ?UA＝{x|x∈U且x?A} 并集 补集
知识拓展
1．若有限集合A中有n个元素，则集合A的子集个数为2，真子集的个数为2－1. 2．A?B?A∩B＝A?A∪B＝B.
3．A∩?UA＝?；A∪?UA＝U；?U(?UA)＝A.
nn
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)任何一个集合都至少有两个子集．( × )
(2){x|y＝x＋1}＝{y|y＝x＋1}＝{(x，y)|y＝x＋1}．( × ) (3)若{x1}＝{0,1}，则x＝0,1.( × ) (4){x|x≤1}＝{t|t≤1}．( √ )
(5)对于任意两个集合A，B，关系(A∩B)?(A∪B)恒成立．( √ ) (6)若A∩B＝A∩C，则B＝C.( × ) 题组二 教材改编
2．已知U＝{α|0°＜α＜180°}，A＝{x|x是锐角}，B＝{x|x是钝角}，则?U(A∪B)＝________. 答案 {x|x是直角}
3．已知集合A＝{(x，y)|x＋y＝1}，B＝{(x，y)|y＝x}，则A∩B中元素的个数为________． 答案 2
2
2
2,
2
2
2
解析 集合A表示以(0,0)为圆心，1为半径的单位圆，集合B表示直线y＝x，圆x＋y＝1与直线y＝x相交于两点?
2??22??2
，?，?－，－?，则A∩B中有两个元素． 2??22??2
22
题组三 易错自纠
4．已知集合A＝{1,3，m}，B＝{1，m}，A∪B＝A，则m等于( ) A．0或3 C．1或3 答案 B
解析 A＝{1,3，m}，B＝{1，m}，A∪B＝A，故B?A，所以m＝3或m＝m，即m＝3或m＝0或m＝1，其中m＝1不符合题意，所以m＝0或m＝3，故选B.
5．已知集合A＝{x|x－2x－3≤0}，B＝{x|x 解析 A＝{x|x－2x－3≤0}＝{x|－1≤x≤3}， ∵A?B，B＝{x|x 6．若集合A＝{x∈R|ax－3x＋2＝0}中只有一个元素，则a＝________. 9 答案 0或 8 ?2? 解析 若a＝0，则A＝??，符合题意； ?3? 2 2 2 B．0或3 D．1或3或0 9 若a≠0，则由题意得Δ＝9－8a＝0，解得a＝. 89 综上，a的值为0或. 8 题型一 集合的含义 2 1．设集合A＝{－1,1,3}，B＝{a＋2，a＋4}，A∩B＝{3}，则实数a＝________. 答案 1 解析 ∵3∈B，又a＋4≥4，∴a＋2＝3，∴a＝1. 经检验，a＝1符合题意． 2．若A＝{2,3,4}，B＝{x|x＝n·m，m，n∈A，m≠n}，则集合B中的元素个数是( ) A．2 B．3 C．4 D．5 答案 B 解析 B＝{x|x＝n·m，m，n∈A，m≠n}＝{6,8,12}． 思维升华 (1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合． (2)集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意．分类讨论的思想方法常用于解决集合问题． 题型二 集合的基本关系 2