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专题18 恒成立问题——最值分析法

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不等式恒成立问题常见处理方法：① 分离参数a?f?x?恒成立(a?f?x?max可)或a?f?x?恒成立（a?f?x?min即可）；② 数形结合(y?f?x?图象在y?g?x? 上方即可)；③ 最值法：讨论最值f?x?min?0或f?x?max?0恒成立；④ 讨论参数. 最值法求解恒成立问题是三种方法中最为复杂的一种，但往往会用在解决导数综合题目中的恒成立问题.此方法考查学生对所给函数的性质的了解，以及对含参问题分类讨论的基本功.是函数与导数中的难点问题，下面通过典型例题总结此类问题的解法----最值分析法. 1、最值法的特点：

（1）构造函数时往往将参数与自变量放在不等号的一侧，整体视为一个函数，其函数含参

（2）参数往往会出现在导函数中，进而参数不同的取值会对原函数的单调性产生影响——可能经历分类讨论 2、理论基础：设f?x?的定义域为D

（1）若?x?D，均有f?x??C（其中C为常数），则f?x?max?C （2）若?x?D，均有f?x??C（其中C为常数），则f?x?min?C 3、技巧与方法：

（1）最值法解决恒成立问题会导致所构造的函数中有参数，进而不易分析函数的单调区间，所以在使用最值法之前可先做好以下准备工作：

① 观察函数f?x?的零点是否便于猜出（注意边界点的值） ② 缩小参数与自变量的范围：

通过代入一些特殊值能否缩小所求参数的讨论范围（便于单调性分析）

观察在定义域中是否包含一个恒成立的区间（即无论参数取何值，不等式均成立），缩小自变量的取值范围 （2）首先要明确导函数对原函数的作用：即导函数的符号决定原函数的单调性.如果所构造的函数，其导数结构比较复杂不易分析出单调性，则可把需要判断符号的式子拿出来构造一个新函数，再想办法解决其符号.

（3）在考虑函数最值时，除了依靠单调性，也可根据最值点的出处，即“只有边界点与极值点才是最值点的候选点”，所以有的讨论点就集中在“极值点”是否落在定义域内.

【经典例题】

例1．【2019届四川高三（南充三诊）联合诊断】已知定义在上的偶函数

对任意

在

上单调递减，若不等式

恒成立，则实数的取值范是（ ）

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A. 【答案】A

B. C. D.

【解析】 因为定义在上的偶函数 若不等式 则即

对于对于

在上递减，所以

对于

在上单调递增，

上恒成立，

上恒成立， 上恒成立，

（2）当

，即

时，

在

上恒成立，

单调递减，

因为最大值，最小值，所以，

综合可得，无解，

（3）当，即时，在上，恒成立，为减函数，

在上，恒成立，单调递增，

故函数最小值为，

若

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，即，因为，则最大值为，

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此时，由，求得，

综上可得；

若，即，因为，则最大值为，

点睛：本题主要考查了函数的奇偶性和单调性的综合应用，函数的恒成立问题，着重考查了转化思想、分类讨论的数学思想方法，试题有一定的难度，属于难题，本题的解答中利用函数的奇偶性、单调性，可得

上恒成立，令

例2.若关于的不等式A.

B.

C.

，求的函数

的最大值和最小值，从而得到实数的取值范围.

恒成立，则的取值范围是( )

在

，对任意 D.

【答案】B

【解析】设y=x﹣3x﹣9x+2，则y′=3x﹣6x﹣9， 令y′=3x﹣6x﹣9=0，得x1=﹣1，x2=3， ∵3?[﹣2，2]，∴x2=3（舍）， 列表讨论：

2

3

2

2

∵f（﹣2）=﹣8﹣12+18+2=0，

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