啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊2.1.1 正弦定理
[A 基础达标]
1.在△ABC中,若3a=2bsin A,则B=( ) π
A. 3π2πC.或 33
π
B.
6π5πD.或 66
解析:选C.由正弦定理,得3sin A=2sin Bsin A,所以sin A(2sin B-3)=0.因为0 3π2π,所以B=或. 233 2.已知△ABC的三个内角之比为A∶B∶C=3∶2∶1,那么,对应的三边之比a∶b∶c等于( ) A.3∶2∶1 C.3∶2∶1 B.3∶2∶1 D.2∶3∶1 解析:选D.因为A∶B∶C=3∶2∶1,A+B+C=180°, 所以A=90°,B=60°,C=30°, 所以a∶b∶c=sin 90°∶sin 60°∶sin 30°=1∶3.符合下列条件的△ABC有且只有一个的是( ) A.a=1,b=2,A=30° C.b=c=1,B=45° 解析:选C.对于A,由正弦定理得 B.a=1,b=2,c=3 D.a=1,b=2,A=100° 122=,所以sin B=.又a sin 30°sin B2 31 ∶=2∶3∶1. 22 或135°,所以满足条件的三角形有两个.对于B,a+b=c,构不成三角形.对于C,b=c=1,所以B=C=45°,A=90°,所以满足条件的三角形只有一个.对于D,a 4.在△ABC中,已知atan B=btan A,则△ABC的形状是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 解析:选D.将a=2Rsin A,b=2Rsin B(R为△ABC外接圆的半径)代入已知条件,得sinAtan sinAsin Bsin AsinBB=sinBtan A,则=. cos Bcos A2 2 2 2 2 2 1 啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊因为sin Asin B≠0,所以 sin Asin B=, cos Bcos A所以sin 2A=sin 2B,所以2A=2B或2A=π-2B, π 所以A=B或A+B=,故△ABC为等腰三角形或直角三角形. 2 5.△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若asin Asin B+bcosA=2a,则的值为( ) A.23 C.3 解析:选D.由正弦定理,得 sinAsin B+sin BcosA=2sin A, 即sin B·(sinA+cosA)=2sin A. 所以sin B=2sin A.所以= 2 2 2 2 2 baB.22 D.2 bsin B=2. asin A6.在△ABC中,B=45°,C=60°,c=1,则最短边的边长等于__________. 解析:由三角形内角和定理知:A=75°,由边角关系知B所对的边b为最小边,由正弦定21× 2bccsin B6 理=得b===. sin Bsin Csin C33 2 答案: 6 3 5b,A=2B,则cos B=________. 2 7.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a= ??a=5b, 2解析:在△ABC中,因为? ??A=2B,??sin A=5sin B, 2所以? ??sin A=sin 2B=2sin Bcos B, 所以cos B=答案: 5 4 5. 4 8.△ABC中,a,b,c分别是内角A,B,C所对的边,且cos 2B+3cos(A+C)+2=0,b=3,则c∶sin C等于________. 2 啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊啊12 解析:由题意得cos 2B-3cos B+2=0,即2cosB-3cos B+1=0,解得cos B=或cos B2=1(舍去),所以sin B= 3cb3,由正弦定理得===2. 2sin Csin B3 2 答案:2 9.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 cos(A-C)+cos B=1,a=2c,求C的大小. 解:由B=π-(A+C), 得cos B=-cos(A+C). 于是cos(A-C)+cos B=cos(A-C)-cos(A+C)=2sin Asin C. 1 所以sin Asin C=.① 2 由a=2c及正弦定理得sin A=2sin C.② 12 由①②得sinC=, 4 11 于是sin C=-(舍去)或sin C=. 22π 又a=2c,所以C=. 6 10.在△ABC中,(a+b)sin(A-B)=(a-b)sin(A+B),试判断△ABC的形状. 解:由(a+b)sin(A-B)=(a-b)sin(A+B),得a[sin(A+B)-sin(A-B)]=b[sin(A+B)+sin(A-B)],所以a·cos Asin B=bsin Acos B.由正弦定理,得 sinAcos Asin B=sinBsin AcosB.因为00,sin B>0,0<2A<2π,0<2B<2π, 所以sin Acos A=sin Bcos B,即sin 2A=sin 2B. π 所以2A=2B或2A+2B=π,即A=B或A+B=. 2所以△ABC为等腰三角形或直角三角形. [B 能力提升] 11.满足B=60°,AC=12,BC=k的△ABC恰有一个,则k的取值范围是( ) A.k=83 C.k≥12 B.0 D.0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 解析:选D.已知两边和其中一边的对角解三角形时,首先求出另一边的对角的正弦值,由正弦值求角时,需对角的情况进行讨论:当AC 3