：名姓 线 ： 号 学 订 ： 业 专 装 ： 院 学广东工业大学试卷参考答案及评分标准 ( A ) 课程名称: 高等数学（下） （满分100分） 考试时间: 2009 年 6 月 25 日 (第 17 周 星期一 ) 一、填空题：（4分×5＝20分） 1 2 3 16? 4 [?1,1] 5 二、选择题：（4分×5＝20分） 1 A 2 A 3 B 4 5 D 三、（8分）计算?2Lx?y2ds，其中L为圆周x2?y2?ax，a?0． 解:直接化为定积分．L1的参数方程为 x?a2?a2cos?,y?a2sin?（0????）, 且 ds?[x?(?)]2?[y?(?)]2d??a2d?． 于是 ?2Lx?y2ds??axds?2??0acos?aL2?2d??2a2．（6分） 四（8分）设z?f?x?y，xy?，其中函数f具有二阶连续的偏导数，求?2z?x?y． 解： ?z?x?f1??yf2? ……4 所以，?2z?x?y?f11???xf12???f2??yf21???xyf22?? ……6 ?f11????x?y?f12???xyf22???f2? ……8 广东工业大学试卷用纸，共 3 页，第 页
五、（8分）求曲面x2yz?3y2?2xz2?8z上点(1,2,?1)处的切平面和法线方程． 解 令F(x,y,z)?x2yz?3y2?2xz2?8z， ……2 则曲面在(1,2,?1)处的法向量为n??2xyz?2z2,x2z?6y,x2y?4xz?8????6,11,14?，……4 (1,2,?1)因此，所求切平面方程为 ?6(x?1)?11(y?2)?14(z?1)?0，即6x?11y?14z?2?0；……6 所求法线方程为 x?1y?2z?1． ???61114 ……8 六、（8分）利用格林公式计算曲线积分?(x2?2y)dx?(3x?y3)dy，其中曲线L为x2?y2?1的L装 订 线 上半圆左端点A（-1，0）到右端点B（1，0）的有向弧线段。 解： （10分） ?n?1 七、（10分）求幂级数?nxn?1的和函数。 解 先求收敛域．由??lim?n??an?1n?2?lim?1得收敛半径R?1． n??n?1an当x?1时，幂级数变成?n，是发散的； n?1当x??1时，幂级数变成?(?1)n?1n，是发散的，因此收敛域为(?1,1)．……4分 n?1?设s(x)??nxn?1，x?(?1,1)．上式两边从0到x积分，得 n?1?xs(x)dx?(nx)dx? nxn?1dx?xn?，(?1?x?1)，……7分 000 1?xn?1n?1n?1 1x上式两边再对x求导，得 s(x)=( )?=，(?1?x?1)． ……10分 x(1?x)21? 广东工业大学试卷用纸，共 3 页，第 页
?x??x?n?1???x??f(1)2?fy(1dxdy?x)。 八、（10D?{(x,y)|x?y?1}，计算4．设 f分）是可导函数，且满足条件：lim??(x?4)??1，则曲线 y?f(x) (x) 设区域x?0D2x2 在点(1,f(1) 。)处的切线斜率为2?1 （ ）y2sin?222解： ??(x?)dxdy??d???(cos??)?d? ……2分 00144（A） 2D （B） ?2 （C） ?1 （D） 22221sin2???(cos??)d???3d? ……4分 secx5．设：y?f(3)，则：dy00? （ ）4 2?22sec?2?sin?1x)ln3dx 2?(3f?A． f?(3secx)d?secx? ? ( 2 B. ……6分 cos?d??d)??0?044secx?(3f?)3secxln C． f?(3secx)3secx?d?ln3secx2? ? cos2 ? 1D. ?12?1cos2?13dx ?(?d???d?)? ……8分 002424115?三、计算题（共?(1?49)?分）?. ……10分 装 订 线 4416z??x2?y2x九、（8分）求函数在区域x2?y2?1上的最大值和最小值． 3?x1?1． 求：lim。 2?z?x?1zx?1解 由?2x?0，?2y?0解得x?0，y?0，且z(0,0)?0． ?y?x 在边界x2?y2?1,上， z?(x?y)2?3xy?1?3x(1?x)?1?3x?3x2， 1它在[0,1]上最大值和最小值分别为1和； 4 同理，在边界x?y??1,x?0,y?0上有相同的结果． 在边界x?y??1,x?0,y?0上， 2． 求：f(x)?e?x(x?1) 在 [1,3] 上的最大值与最小值。 z?(x?y)2?xy?1?x(1?x)?1?x?x2， 3在[0,1]上最大值和最小值为1和； 4 同理，在边界x?y?1,x?0,y?0上有相同的结果． 综上所述，函数z?x2?xy?y2在区域x?y?1上的最大值和最小值分别为 ?13??13? zmax?max?0,,,1??1， zmin?min?0,,,1??0． （10分） ?44??44? 3． 设：y?2?3xe2y，求：y?。 广东工业大学试卷用纸，共 3 页，第 页