第五课时

npn?p?Cnp?Cm?Cm例14．证明：Cm?p。

证明：原式左端可看成一个班有m个同学，从中选出n个同学组成兴趣小组，在选出的n个同学中，p个同学参加数学兴趣小组，余下的n?p个同学参加物理兴趣小组的选法数。原式右端可看成直接在m个同学中选出p个同学参加数学兴趣小组，在余下的m?p个同学中选出n?p个同学参加物理兴趣小组的选法数。显然，两种选法是一致的，故左边=右边，等式成立。

0m1m?1m0m例15．证明：Cn。 Cm?CnCm?…?CnCm?Cm?n（其中n?m）

证明：设某班有n个男同学、m个女同学，从中选出m个同学组成兴趣小组，可分为m?1类：男同学0个，1个，…，m个，则女同学分别为m个，m?1个，…，

0m1m?1m0m0个，共有选法数为CnCm?CnCm?…?CnCm。又由组合定义知选法数为Cm?n，

故等式成立。

123n例16．证明：Cn?2Cn?3Cn?…?nCn?n2n?1。

123n1112131n证明：左边=Cn=C1?2Cn?3Cn?…?nCnCn?C2Cn?C3Cn?…?CnCn， i其中Ci1Cn可表示先在n个元素里选i个，再从i个元素里选一个的组合数。设某班

有n个同学，选出若干人（至少1人）组成兴趣小组，并指定一人为组长。把这种

2，选法按取到的人数i分类（i?1，…，n），则选法总数即为原式左边。现换一种选

法，先选组长，有n种选法，再决定剩下的n?1人是否参加，每人都有两种可能，所以组员的选法有2n?1种，所以选法总数为n2n?1种。显然，两种选法是一致的，故左边=右边，等式成立。

123n例17．证明：Cn?22Cn?32Cn?…?n2Cn?n(n?1)2n?2。

ii证明：由于i2Cn可表示先在n个元素里选i个，再从i个元素里选两?Ci1Ci1Cn个（可重复）的组合数，所以原式左端可看成在例3指定一人为组长基础上，再指定一人为副组长（可兼职）的组合数。对原式右端我们可分为组长和副组长是否是同一个人两种情况。若组长和副组长是同一个人，则有n2n?1种选法；若组长和副组长不是同一个人，则有n(n?1)2n?2种选法。∴共有

n2n?1+n(n?1)2n?2?n(n?1)2n?2种选法。显然，两种选法是一致的，故左边=右边，

等式成立。

例18．第17届世界杯足球赛于2002年夏季在韩国、日本举办、五大洲共有

32支球队有幸参加，他们先分成8个小组循环赛，决出16强（每队均与本组其他队赛一场，各组一、二名晋级16强），这支球队按确定的程序进行淘汰赛，最后决出冠亚军，此外还要决出第三、四名，问这次世界杯总共将进行多少场比赛？

2答案是：8C4?8?4?2?2?64，这题如果作为习题课应如何分析

解：可分为如下几类比赛：

⑴小组循环赛：每组有6场，8个小组共有48场；

⑵八分之一淘汰赛：8个小组的第一、二名组成16强，根据抽签规则，每两个队比赛一场，可以决出8强，共有8场；

⑶四分之一淘汰赛：根据抽签规则，8强中每两个队比赛一场，可以决出4强，共有4场；

⑷半决赛：根据抽签规则，4强中每两个队比赛一场，可以决出2强，共有2场；

⑸决赛：2强比赛1场确定冠亚军，4强中的另两队比赛1场决出第三、四名 共有2场.

2综上，共有8C4?8?4?2?2?64场

四、课堂练习：

1．判断下列问题哪个是排列问题，哪个是组合问题：

（1）从4个风景点中选出2个安排游览，有多少种不同的方法？

（2）从4个风景点中选出2个，并确定这2个风景点的游览顺序，有多少种不同的方法？

2．7名同学进行乒乓球擂台赛，决出新的擂主，则共需进行的比赛场数为（ ） A．42 B．21 C．7 D．6 3．如果把两条异面直线看作“一对”，则在五棱锥的棱所在的直线中，异面直线有（ ）

A．15对 B．25对 C．30对 D．20对 4．设全集U??a,b,c,d?，集合A、B是U的子集，若A有3个元素，B有2个元素，且AB??a?，求集合A、B，则本题的解的个数为 （ ）

A．42 B．21 C．7 D．3

5．从6位候选人中选出2人分别担任班长和团支部书记，有 种不同的选法 6．从6位同学中选出2人去参加座谈会，有 种不同的选法 7．圆上有10个点：

（1）过每2个点画一条弦，一共可画 条弦；

（2）过每3个点画一个圆内接三角形，一共可画 个圆内接三角形 8．（1）凸五边形有 条对角线；（2）凸n五边形有 条对角线

339．计算：（1）C15；（2）C6?C84．

10．A,B,C,D,E5个足球队进行单循环比赛，（1）共需比赛多少场？（2）若各队的得分互不相同，则冠、亚军的可能情况共有多少种？ 11．空间有10个点，其中任何4点不共面，（1）过每3个点作一个平面，一共可

作多少个平面？（2）以每4个点为顶点作一个四面体，一共可作多少个四面体？ 12．壹圆、贰圆、伍圆、拾圆的人民币各一张，一共可以组成多少种币值？ 13．写出从a,b,c,d,e这5个元素中每次取出4个的所有不同的组合 答案： 1. （1）组合, （2）排列 2. B 3. A 4. D 5. 30 6. 15 7. （1）45 （2） 120 8. （1）5（2）n(n?3)/2 9. ⑴455； ⑵

2 10. ⑴10； ⑵20 73411. ⑴C10?120； ⑵C10?210 123412. C4?C4?C4?C4?24?1?15

13. a,b,c,d； a,b,c,e； a,b,d,e； a,c,d,e； b,c,d,e

教学反思：

1注意区别“恰好”与“至少”

从6双不同颜色的手套中任取4只，其中恰好有一双同色的手套的不同取法共有多少种

2特殊元素（或位置）优先安排

将5列车停在5条不同的轨道上，其中a列车不停在第一轨道上，b列车不停在第二轨道上，那么不同的停放方法有种 3“相邻”用“捆绑”，“不邻”就“插空”

七人排成一排，甲、乙两人必须相邻，且甲、乙都不与丙相邻，则不同的排法有多少种

4、混合问题，先“组”后“排”

对某种产品的6件不同的正品和4件不同的次品,一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时全部发现,则这样的测试方法有种可能？

5、分清排列、组合、等分的算法区别

(1)今有10件不同奖品,从中选6件分给甲一件,乙二件和丙三件,有多少种分法?

(2) 今有10件不同奖品, 从中选6件分给三人,其中1人一件1人二件1人三件, 有多少种分法?

(3) 今有10件不同奖品, 从中选6件分成三份,每份2件, 有多少种分法? 6、分类组合,隔板处理

从6个学校中选出30名学生参加数学竞赛,每校至少有1人,这样有几种选法?