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数的整除

数的整除问题；内容丰富；思维技巧性强。它是小学数学中的重要课题；也是小学数学竞赛命题的内容之一。

一、基本概念和知识

1.整除——约数和倍数

例如：15÷3=5；63÷7=9

一般地；如a、b、c为整数；b≠0；且a÷b=c；即整数a除以整除b（b不等于0）；除得的商c正好是整数而没有余数（或者说余数是0）；我们就说；a能被b整除（或者说b能整除a）。记作b｜a.否则；称为a不能被b整除；（或b不能整除a）；记作ba。

如果整数a能被整数b整除；a就叫做b的倍数；b就叫做a的约数。

例如：在上面算式中；15是3的倍数；3是15的约数；63是7的倍数；7是63的约数。

2.数的整除性质

性质1：如果a、b都能被c整除；那么它们的和与差也能被c整除。

即：如果c｜a；c｜b；那么c｜（a±b）。

例如：如果2｜10；2｜6；那么2｜（10＋6）；

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精品教学资料，欢迎使用。精品教学资料，欢迎使用。精品教学资料，欢迎使用。 并且2｜（10—6）。

性质2：如果b与c的积能整除a；那么b与c都能整除a.即：如果bc｜a；那么b｜a；c｜a。

性质3：如果b、c都能整除a；且b和c互质；那么b与c的积能整除a。

即：如果b｜a；c｜a；且（b；c）=1；那么bc｜a。

例如：如果2｜28；7｜28；且（2；7）=1,

那么（2×7）｜28。

性质4：如果c能整除b；b能整除a；那么c能整除a。

即：如果c｜b；b｜a；那么c｜a。

例如：如果3｜9；9｜27；那么3｜27。

3.数的整除特征

①能被2整除的数的特征：个位数字是0、2、4、6、8的整数.“特征”包含两方面的意义：一方面；个位数字是偶数（包括0）的整数；必能被2整除；另一方面；能被2整除的数；其个位数字只能是偶数（包括0）.下面“特征”含义相似。

②能被5整除的数的特征：个位是0或5。

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③能被3（或9）整除的数的特征：各个数位数字之和能被3（或9）整除。

④能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。

例如：1864=1800＋64；因为100是4与25的倍数；所以1800是4与25的倍数.又因为4｜64；所以1864能被4整除.但因为2564；所以1864不能被25整除.

⑤能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。

例如：29375＝29000＋375；因为1000是8与125的倍数；所以29000是8与125的倍数.又因为125｜375；所以29375能被125整除.但因为8375；所以829375。

⑥能被11整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是11的倍数。

例如：判断123456789这九位数能否被11整除？

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