2019_2020学年高中数学课时分层作业5比较法(含解析)新人教B版选修4_5 下载本文

课时分层作业(五) 比较法

(建议用时:45分钟)

[基础达标练]

一、选择题

1.对x1>x2>0,0<a<1,记y1=( )

A.x1x2>y1y2 C.x1x2<y1y2

[解析] ∵x1>x2>0,0<a<1, ?x1+ax2??ax1+x2?

∴y1y2-x1x2=-x1x2 2

?1+a?

B.x1x2=y1y2

D.不能确定,与a有关

+,y2=+,则x1x2与y1y2的关系为1+a1+a1+a1+ax1ax2ax1x2

a?x1-x2?2

=2>0,

?1+a?

∴y1y2>x1x2, ∴选项C正确. [答案] C

2.设a=sin 15°+cos 15°,b=sin 16°+cos 16°,则下列各式正确的是( ) A.a<

a2+b2

2

<b B.a<b<D.b<

a2+b2

2

C.b<a<

a2+b2

2

a2+b2

2

<a

[解析] a=sin 15°+cos 15°=2sin 60°,

b=sin 16°+cos 16°=2sin 61°,

∴a<b,排除C,D.又a≠b, ∴

a2+b2

2

>ab=2sin 60°·2sin 61°

=3sin 61°>2sin 61°=b, 故a<b<

a2+b2

2

成立.

[答案] B

3.已知数列{an}的通项公式an=是( )

A.an>an+1 C.an=an+1

an,其中a,b均为正数,那么an与an+1的大小关系bn+1

B.an<an+1 D.与n的取值有关

- 1 -

[解析] an+1-an==

a?n+1?an- b?n+1?+1bn+1

. ?bn+b+1??bn+1?

a∵a>0,b>0,n>0,n∈N+, ∴an+1-an>0,an+1>an. [答案] B

4.若a,b为不等的正数,则(ab+ab)-(aA.恒正

C.与k的奇偶性有关 [解析] (ab+ab)-akkkkk+1

kkk+1

+bk+1

)(k∈N+)的符号( )

B.恒负

D.与a,b大小无关

-bk+1

kk=b(a-b)+a(b-a)=(a-b)(b-a). ∵a>0,b>0,若a>b,则a>b, ∴(a-b)(b-a)<0;

若a<b,则a<b,∴(a-b)(b-a)<0. [答案] B

5.已知a>b>0,c>d>0,m=ac-bd,n=?a-b??c-d?,则m与n的大小关系是( ) A.m

[解析] ∵a>b>0,c>d>0, ∴ac>bd>0,ac>bd,

∴m>0,n>0.又∵m=ac+bd-2abcd,

2

kkkkkkkkB.m>n D.m≤n

n2=ac+bd-(ad+bc),又由ad+bc>2abcd,

∴-2abcd>-ad-bc,∴m>n,∴m>n. [答案] B 二、填空题

6.若x<y<0,M=(x+y)(x-y),N=(x-y)(x+y),则M,N的大小关系为________. [解析] M-N=(x+y)(x-y)-(x-y)(x+y) =(x-y)[(x+y)-(x+y)] =-2xy(x-y).

∵x<y<0,∴xy>0,x-y<0, ∴-2xy(x-y)>0,∴M-N>0, 即M>N. [答案] M>N

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7.设A=+,B=(a>0,b>0且a≠b),则A,B的大小关系是________.

2a2ba+b?a-b?

[解析] 法一(比较法):A-B=>0(a>0,b>0且a≠b),则A>B.

2ab?a+b?法二:A>

1

2

ab,B<1

ab,故A>B.

[答案] A>B 8.若f(x)=________1.

[解析] 因为f(x)=

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的定义域是x>3,又a>1,所以A>0,B>0.

x2?x-3?

2

3A2

,且记A=4loga(x-1),B=4+[loga(x-1)],若a>1,则

x?x-3?B2

又因为B-A=[loga(x-1)-2]≥0, 所以B≥A, 即≤1. [答案] ≤ 三、解答题

9.若实数x,y,m满足|x-m|<|y-m|,则称x比y接近m.对任意两个不相等的正数a,

ABb,证明:a2b+ab2比a3+b3接近2abab.

[证明] ∵a>0,b>0,且a≠b,∴ab+ab>2abab,

2

2

a3+b3>2abab.

∴ab+ab-2abab>0,

2

2

a3+b3-2abab>0.

∴|ab+ab-2abab|-|a+b-2abab| =ab+ab-2abab-a-b+2abab =ab+ab-a-b=a(b-a)+b(a-b) =(a-b)(b-a)=-(a-b)(a+b)<0, ∴|ab+ab-2abab|<|a+b-2abab|, ∴ab+ab比a+b接近2abab.

10.已知a,b都是正数,x,y∈R,且a+b=1. 求证:ax+by≥(ax+by). [证明] ax+by-(ax+by) =ax+by-ax-2abxy-by =(ax-ax)+(by-by)-2abxy

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