课时分层作业(五) 比较法
(建议用时：45分钟)
[基础达标练]
一、选择题
1．对x1＞x2＞0,0＜a＜1，记y1＝( )
A．x1x2＞y1y2 C．x1x2＜y1y2
[解析] ∵x1＞x2＞0,0＜a＜1， ?x1＋ax2??ax1＋x2?
∴y1y2－x1x2＝－x1x2 2
?1＋a?
B．x1x2＝y1y2
D．不能确定，与a有关
＋，y2＝＋，则x1x2与y1y2的关系为1＋a1＋a1＋a1＋ax1ax2ax1x2
a?x1－x2?2
＝2＞0，
?1＋a?
∴y1y2＞x1x2， ∴选项C正确． [答案] C
2．设a＝sin 15°＋cos 15°，b＝sin 16°＋cos 16°，则下列各式正确的是( ) A．a＜
a2＋b2
2
＜b B．a＜b＜D．b＜
a2＋b2
2
C．b＜a＜
a2＋b2
2
a2＋b2
2
＜a
[解析] a＝sin 15°＋cos 15°＝2sin 60°，
b＝sin 16°＋cos 16°＝2sin 61°，
∴a＜b，排除C，D.又a≠b， ∴
a2＋b2
2
＞ab＝2sin 60°·2sin 61°
＝3sin 61°＞2sin 61°＝b， 故a＜b＜
a2＋b2
2
成立．
[答案] B
3．已知数列{an}的通项公式an＝是( )
A．an＞an＋1 C．an＝an＋1
an，其中a，b均为正数，那么an与an＋1的大小关系bn＋1
B．an＜an＋1 D．与n的取值有关
- 1 -
[解析] an＋1－an＝＝
a?n＋1?an－ b?n＋1?＋1bn＋1
. ?bn＋b＋1??bn＋1?
a∵a＞0，b＞0，n＞0，n∈N＋， ∴an＋1－an＞0，an＋1＞an. [答案] B
4．若a，b为不等的正数，则(ab＋ab)－(aA．恒正
C．与k的奇偶性有关 [解析] (ab＋ab)－akkkkk＋1
kkk＋1
＋bk＋1
)(k∈N＋)的符号( )
B．恒负
D．与a，b大小无关
－bk＋1
kk＝b(a－b)＋a(b－a)＝(a－b)(b－a)． ∵a＞0，b＞0，若a＞b，则a＞b， ∴(a－b)(b－a)＜0；
若a＜b，则a＜b，∴(a－b)(b－a)＜0. [答案] B
5．已知a>b>0，c>d>0，m＝ac－bd，n＝?a－b??c－d?，则m与n的大小关系是( ) A．m [解析] ∵a＞b>0，c>d>0， ∴ac>bd>0，ac>bd， ∴m>0，n>0.又∵m＝ac＋bd－2abcd， 2 kkkkkkkkB．m>n D．m≤n n2＝ac＋bd－(ad＋bc)，又由ad＋bc>2abcd， ∴－2abcd>－ad－bc，∴m>n，∴m>n. [答案] B 二、填空题 6．若x＜y＜0，M＝(x＋y)(x－y)，N＝(x－y)(x＋y)，则M，N的大小关系为________． [解析] M－N＝(x＋y)(x－y)－(x－y)(x＋y) ＝(x－y)[(x＋y)－(x＋y)] ＝－2xy(x－y)． ∵x＜y＜0，∴xy＞0，x－y＜0， ∴－2xy(x－y)＞0，∴M－N＞0， 即M＞N. [答案] M＞N - 2 - 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 112 7．设A＝＋，B＝(a＞0，b＞0且a≠b)，则A，B的大小关系是________． 2a2ba＋b?a－b? [解析] 法一(比较法)：A－B＝＞0(a＞0，b＞0且a≠b)，则A＞B. 2ab?a＋b?法二：A＞ 1 2 ab，B＜1 ab，故A＞B. [答案] A＞B 8．若f(x)＝________1. [解析] 因为f(x)＝ 3 的定义域是x＞3，又a＞1，所以A＞0，B＞0. x2?x－3? 2 3A2 ，且记A＝4loga(x－1)，B＝4＋[loga(x－1)]，若a＞1，则 x?x－3?B2 又因为B－A＝[loga(x－1)－2]≥0， 所以B≥A， 即≤1. [答案] ≤ 三、解答题 9．若实数x，y，m满足|x－m|＜|y－m|，则称x比y接近m.对任意两个不相等的正数a， ABb，证明：a2b＋ab2比a3＋b3接近2abab. [证明] ∵a＞0，b＞0，且a≠b，∴ab＋ab＞2abab， 2 2 a3＋b3＞2abab. ∴ab＋ab－2abab＞0， 2 2 a3＋b3－2abab＞0. ∴|ab＋ab－2abab|－|a＋b－2abab| ＝ab＋ab－2abab－a－b＋2abab ＝ab＋ab－a－b＝a(b－a)＋b(a－b) ＝(a－b)(b－a)＝－(a－b)(a＋b)＜0， ∴|ab＋ab－2abab|＜|a＋b－2abab|， ∴ab＋ab比a＋b接近2abab. 10．已知a，b都是正数，x，y∈R，且a＋b＝1. 求证：ax＋by≥(ax＋by). [证明] ax＋by－(ax＋by) ＝ax＋by－ax－2abxy－by ＝(ax－ax)＋(by－by)－2abxy - 3 - 2 22 2 22 2 2 22 22 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 2 2 3 3 2 2 2 2 2 3 3 2 2 2 2 3 3 2 2 3 3