（I）求证：（II）求二面角

平面；

的正弦值；

（III）设为棱上的点，若直线和平面所成角的正弦值为，求的长。

【答案】（I）见解析（II）（III）

【解析】（I）建立空间直角坐标系，通过分别求解出平面

和平面

与面的法向量垂直可证得结果；（II）

的法向量，求解出法向量成角的余弦值，根据同角三

，则

与平面

法向量的夹角的

角函数关系可得所求正弦值；（III）假设余弦值的绝对值即为直线求得

.

和平面

所成角的正弦值，从而构造方程求得，继而

【详解】

（I）以为原点，建立如下图所示的空间直角坐标系：

则，，

，，

，，

平面的法向量

又，

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，

（II）设面

面 面，且

，

的法向量

，令，则，

设面的法向量，且，

，令，则，

即二面角

的正弦值是

（III）设又面

，则

的法向量

，解得：，即

【点睛】

本题考查利用空间向量法证明线面平行、求解二面角的问题、利用线面角求解其他量的问题，考察了空间向量法在立体几何问题中的应用，属于常规题型. 18．已知正项数列

，且

（I）求数列（II）令

，

的前项和为

的通项公式；

，求数列

的前项和。

，且

，

，数列

满足

或

（舍）

【答案】（I），；（II）

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【解析】（I）利用求得；根据求得，从而可知

是等差数列，从而利用等差数列通项公式求得结果；利用可证得，

可知数列的奇数项成等比、偶数项成等比，分别求解出为奇数和为偶数两种情况

采用错位

下的通项公式即可；（II）由（I）可得，采用分组求和的方式；对相减法求和；对个部分加和得到结果. 【详解】 （I）当

时，

，即

分为为奇数和为偶数两种情况来讨论；从而可对两

由可得

即：又

由题意得：

是公差为，首项为的等差数列

由两式相除得：

是奇数时，是公比是，首项的等比数列

同理是偶数时是公比是，首项的等比数列

综上：

（II），即

令的前项和为，则

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两式相减得：

令

的前项和为

综上：【点睛】

本题考查利用递推关系求解数列的通项公式、等差和等比数列通项公式的求解、分组求和法和错位相减法求解数列的前项和的问题.本题的关键是能够通过递推关系证得数列为等差或等比数列，从而得到数列的通项公式，再根据通项公式的形式确定数列求和的方法.

19．已知点，的坐标分别为

，

，三角形

的两条边

，

所在直线

的斜率之积是。

（I）求点的轨迹方程： （II）设直线

方程为

，直线方程为

与轴相交于点。若

，直线面积为

交于点，

点，关于轴对称，直线，求的值。

【答案】（1）（2）

【解析】(1)本题可以先将点的坐标设出，然后写出直线的斜率与直线的斜率,

最后根据、所在直线的斜率之积是即可列出算式并通过计算得出结果；

(2)首先可以联立直线线

的方程与直线的方程，得出点两点的坐标，然后联立直的方程，最后求出点坐标

的方程与点的轨迹方程得出点坐标并写出直线

并根据三角形面积公式计算出的值。 【详解】

（1）设点的坐标为

，因为点

的坐标分别为

、

，

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所以直线的斜率，直线的斜率，

由题目可知，化简得点的轨迹方程；

（2）直线的方程为，与直线的方程联立，

可得点，故.

将与联立，消去，整理得，

解得，或，根据题目可知点，

由可得直线的方程为，

令，解得，故，

所以，的面积为

又因为的面积为，故，

整理得【点睛】

，解得，所以。

本题考查轨迹方程以及直线相交的综合应用问题，处理问题的关键是能够通过“、

所在直线的斜率之积是”列出等式以及使用表示出三点的坐标，然后根据

三角形面积公式得出算式，即可顺利解决问题，计算量较大，是难题。 20．已知函数

，

，

（I）求函数（II）若

的单调区间； 在

恒成立，求的取值范围；

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