因式分解练习题(提取公因式) 平昌县得胜中学 任 璟(编)
专项训练一：确定下列各多项式的公因式。
1、ay?ax 2、3mx?6my 3、4a2?10ab 222225、25x2y3?15x2y2 6、12xyz?9x2y2 7、3a2y?3ay?6y
8、a2b?5ab?9b 9、?x2?xy?xz 10、?24x2y?12xy2?28y3
11、?3ma3?6ma2?12ma 12、56x3yz?14x2y2z?21xy2z2 4、15a?5a 5、xy?xy 6、12xyz?9xy 7、m?x?y??n?x?y? 8、x?m?n??y?m?n?2 9、abc(m?n)3?ab(m?n) 10、12x(a?b)2?9m(b?a)3 专项训练二：利用乘法分配律的逆运算填空。
1、2?R?2?r?____(R?r) 2、2?R?2?r?2?(______)
3、12gt211?2gt22?___(t21?t22) 4、15a2?25ab2?5a(_______)
专项训练三、在下列各式左边的括号前填上“+”或“－”，使等式成立。 1、x?y?__(x?y) 2、b?a?__(a?b) 3、?z?y?__(y?z) 4、?y?x?2?___(x?y)2 5、(y?x)3?__(x?y)3 6、?(x?y)4?__(y?x)4 7、(a?b)2n?___(b?a)2n(n为自然数) 8、(a?b)2n?1?___(b?a)2n?1(n为自然数)
9、?1?x?(2?y)?___(1?x)(y?2) 10、?1?x?(2?y)?___(x?1)(y?2) 11、(a?b)2(b?a)?___(a?b)3 12、(a?b)2(b?a)4?___(a?b)6 专项训练四、把下列各式分解因式。
1、nx?ny 2、a2?ab 3、4x3?6x2 4、8m2n?2mn
13、15x3y2?5x2y?20x2y3
专项训练五：把下列各式分解因式。1、x(a?b)?y(a?b)
3、6q(p?q)?4p(p?q)
5、a(a?b)?(a?b)2
7、(2a?b)(2a?3b)?3a(2a?b)
9、p(x?y)?q(y?x)
11、(a?b)(a?b)?(b?a)
- 1 -
14、?16x4?32x3?56x2 2、5x(x?y)?2y(x?y) 4、(m?n)(P?q)?(m?n)(p?q) 6、x(x?y)2?y(x?y) 8、x(x?y)(x?y)?x(x?y)2 10、m(a?3)?2(3?a) 12、a(x?a)?b(a?x)?c(x?a)
13、3(x?1)3y?(1?x)3z 14、?ab(a?b)2?a(b?a)2
15、mx(a?b)?nx(b?a) 16、(a?2b)(2a?3b)?5a(2b?a)(3b?2a)
17、(3a?b)(3a?b)?(a?b)(b?3a) 18、a(x?y)?b(y?x)
19、x(x?y)2?2(y?x)3?(y?x)2 20、(x?a)3(x?b)?(a?x)2(b?x)
21、(y?x)2?x(x?y)3?(y?x)4 22、3(2a?3b)2n?1?(3b?2a)2n(a?b)(n为自然数)
专项训练六、利用因式分解计算。
1、7.6?199.8?4.3?199.8?1.9?199.8 2、2.186?1.237?1.237?1.186
3、(?3)21?(?3)20?6?319 4、1984?20032003?2003?19841984
- 2 -
2专项训练七：利用因式分解证明下列各题。 1、求证：当n为整数时，n2?n必能被2整除。
2、证明：一个三位数的百位上数字与个位上数字交换位置，则所得的三位数与原数之差能被99整除。
3、证明：32002?4?32001?10?32000能被7整除。
专项训练八：利用因式分解解答列各题。 1、已知a+b=13，ab=40， 求2a2b+2ab2的值。
212、已知a?b?，ab?，求a3b+2a2b2+ab3的值。
323、16(a?b)2?9(a?b)2 4、9(x?y)2?4(x?y)2
5、(a?b?c)2?(a?b?c)2 6、4a2?(b?c)2
因式分解习题(二) 公式法分解因式(任璟编)
专题训练一：利用平方差公式分解因式 题型(一)：把下列各式分解因式
1、x2?4 2、9?y2 3、1?a2
4、4x2?y2 5、1?25b2 6、x2y2?z2
7、49m2?0.01b2 8、a2?19x2 9、36?m2n2
10、4x2?9y2 11、0.81a2?16b2 12、25p2?49q2
13、a2x4?b2y2 14、x4?1
15、16a4?b4 16、1a4?16b4m481
题型(二)：把下列各式分解因式
1、(x?p)2?(x?q)2 2、 (3m?2n)2?(m?n)2
题型(三)：把下列各式分解因式
1、x5?x3 2、4ax2?ay2 4、x3?16x 5、3ax2?3ay4
7、x3?4xy2 8、32x3y4?2x3
10、?8a(a?1)2?2a3 11、?ax4?16a
题型(四)：利用因式分解解答下列各题
1、证明：两个连续奇数的平方差是8的倍数。
2、计算
⑴7582?2582 ⑵4292?1712
- 3 -
3、2ab3?2ab 6、x2(2x?5)?4(5?2x) 9、ma4?16mb4 12、16mx(a?b)2?9mx(a?b)2 ⑶3.52?9?2.52?4 ⑷(1?122)(1?132)(1?142)???(1?1192)(1?102)
专题训练二：利用完全平方公式分解因式 题型(一)：把下列各式分解因式
1、x2?2x?1 2、4a2?4a?1 3、 1?6y?9y2 、1?m?m244 5、 x2?2x?1 6、a2?8a?16
7、1?4t?4t2 8、m2?14m?49 9、b2?22b?121
10、y2?y?14 11、25m2?80m?64 12、4a2?36a?81
13、4p2?20pq?25q2 14、x24?xy?y2 15、4x2?y2?4xy
题型(二)：把下列各式分解因式
1、(x?y)2?6(x?y)?9 2、a2?2a(b?c)?(b?c)2
3、4?12(x?y)?9(x?y)2 4、(m?n)2?4m(m?n)?4m2
5、(x?y)?4(x?y?1) 6、(a?1)2?4a(a?1)?4a2
题型(三)：把下列各式分解因式
1、2xy?x2?y2 2、4xy2?4x2y?y3 3、?a?2a2?a3
题型(四)：把下列各式分解因式
1、12x2?2xy?2y2 2、x4?25x2y2?10x3y
3、ax2?2a2x?a3 4、(x2?y2)2?4x2y2
5、(a2?ab)2?(3ab?4b2)2 6、(x?y)4?18(x?y)2?81
7、(a2?1)2?4a(a2?1)?4a2 8、a4?2a2(b?c)2?(b?c)4
9、x4?8x2y2?16y4 10、(a?b)2?8(a2?b2)?16(a?b)2
题型(五)：利用因式分解解答下列各题
1、已知： x?12，y?8,求代数式1x2?xy?1y222的值。
2、已知a?b?2，ab?32，求代数式a3b+ab3-2a2b2的值。
- 4 -
3、已知：a、b、c为△ABC的三边，且a2?b2?c2?ab?bc?ac?0， 判断三角形的形状，并说明理由。
由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即
2+3=51 2
。
因式分解习题(三)
十字相乘法分解因式
(1)对于二次项系数为1的二次三项式x?(a?b)x?ab?(x?a)(x?b) 方法的特征是“拆常数项，凑一次项”
当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同； 当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．
(2)对于二次项系数不是1的二次三项式
22解：x?5x?6=x?(2?3)x?2?3 1 3 2 =(x?2)(x?3) 1×2+1×3=5
用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。
例1、分解因式：x?7x?6
解：原式=x?[(?1)?(?6)]x?(?1)(?6) 1 -1
=(x?1)(x?6) 1 -6 （-1）+（-6）= -7
练习1、分解因式
(1)x?14x?24 (2)a?15a?36 (3)x?4x?5
练习2、分解因式
22(1)x?x?2 (2)y?2y?15 (3)x?10x?24
222222
（二）二次项系数不为1的二次三项式—— ax?bx?c 条件：（1）a?a1a2 a1 c1
（2）c?c1c2 a2 c2 （3）b?a1c2?a2c1 b?a1c2?a2c1
2ax2?bx?c?a1a2x2?(a1c2?a2c1)x?c1c2?(a1x?c1)(a2x?c2) 它的特征是“拆两头，凑中间”
当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项； 常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；
常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同
注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母． 二、典型例题 例5、分解因式：x?5x?6
分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。
- 5 -
2分解结果：ax?bx?c=(a1x?c1)(a2x?c2)
2