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**4. 利用?f?df,可推出近似公式:f?x??x,y??y??f?x,y??df?x,y?, 并利用上式计算
?2.98?2??4.03?2的近似值.
解:由于f?x??x,y??y??f?x,y??df?x,y?,
设f?x,y??x2?y2,x?3,y?4,?x??0.02,?y?0.03,
xdx?ydyx?y22于是 df?x,y???x?x?y?yx?y22,
f?x??x,y??y??f?x,y??x?x?y?yx?y22,
∴
?2.98?2??4.03?2?32?42?3??0.02??4?0.03?3?422?5.012.
***5.已知圆扇形的中心角为??60,半径为r?20cm,如果?增加了1?,r减少了1cm,试用全微分计算面积改变量的近似值. 解:S??12??, r2180 dS??360(2(?dr?r2d?)),
2?20?60?(?1)(20)2?1?)??17.4533(cm2). ∴ ?S?dS??(360360
????l??????fx,y,z?lnx?2y?3zP?1,2,0***6. 计算函数在点处沿给定方向 ?2i?j?k
的方向导数?.
P?f?l解:fx?1,x?2y?3zfy?2,x?2y?3zfz?3,
x?2y?3z
1???21el??,,??,
6??66∴ ???f?el??,,???P
?f?l?1?1?123??21. ,,???6?56?555??66.
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***7. 函数的值. 解:
在(0,0)点处沿哪个方向的方向导数最大,并求此方向导数
,
,
,
其中为与的夹角,
所以
时,即与同向时,方向导数取最大值.
**8. 对函数 f(x,y,z)?e解: ?f?yze
xyz 求出 ?f(x,y,z) 以及 ?f(1,2,3).
?xyz,xzexyz,xyexyz,?f(1,2,3)?e6?6,3,2?.
?**9. 求函数f(x,y,z)?(x?y)在点P?(1ze?1e?11,,)处的梯度. 2221??11z?1?11(x?y)?1?解:?f??(x?y)z,(x?y)z,?ln(x?y)?, 2zzz?????f(
e?1e?11,,)?2e,2e,?4e2. 222??1?22,?x?ysin2***10. 讨论函数f(x,y)??x?y2??0,续性,可导性和可微性.
x2?y2?0x2?y2?0在点(0,0)处的连
.
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解:因为 ,
所以在点(0,0)连续.
因为 ,
极限不存在,
在(0,0)处不可导,从而在(0,0)处不可微.
第 11 章(之4)(总第62次)
教材内容:§11.3 复合函数微分法;§11.4 隐函数微分法
**1.解下列各题:
22243(1) 若函数f(u,v)可微,且有f(x,x)?x?2x?x及fu?(x,x)?2x?2x?1,则
fv? (x,x2)= ( )
(A) 2x?2x?1 (C) 2x?2x?1 答:(A)
(2)设函数
由方程
所确定,则
=_________.
22
(B) 2x?3x?221 2x
(D) 2x?3x?1
答: (3)方程
.
?z?z?3,在变量代换u?x?3y,v?3x?y下,可得新方程为_______. ?x?y答:
?z?0. ?u**2. 设求.
.
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解:
?u?2x?cos?sin???2ysin?sin??2zcos??2r, ?r
?u?2x[r(?sin?)sin?]?2y(rcos?sin?)?0, ???u?2x(rcos?cos?)?2y(rsin?cos?)?2zrsin??0. ??
**3. 一直圆锥的底半径以3cm/s的速率增加,高h以5cm/s的速率增加,试求r=15cm,h=25cm时其体积的增加速率. 解:V?12?rh, 3dV?Vdr?Vdh2?dr12dh?????rh??rdt?rdt?hdt3dt3dtdVr?15?1125?cm3/sdth?25
*4. 设z?ex?3y,而x?sint,y?t,求
4dz . dtdzdxdy4t3x解:?zx?zy?ecost?2.
dtdtdt3y3
**5. 若z?xy?z2?z222xy?xy?xz?yz. ,证明:22?x?yf(x?y)yf?2x2yf?xf?2xy2f?解:zx?, ,zy?22ffxy(x2?y2)?x2z?y2z. 则 xyzx?xyzy?f22**6. 设 u?f(xe,ye,xycosx),求
yx2?u?u,,du. ?x?y解:
?u?eyf1?yexf2?(ycos2x?xysin2x)f3 , ?x?u?xeyf1?exf2?xcos2xf3, ?ydu?eyf1?yexf2?(ycos2x?xysin2x)f3dx?xeyf1?exf2?xcos2xf3dy.
????.
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**7. 求由方程
xz?z?z?ln所确定的函数z?z(x,y)的偏导数,.
?x?yzy1Fyz2yFxz??????解:zx??,zy??.
x1xy?yzxyFzFzx?z?2??2?zyzzz1z**8. 设F(xy,y?z,xz)?0, 试求
?z?z,,dz. ?x?y解:F(xy,y?z,xz)?0, 两边对x求导,得 yF1?zxF2?F3(z?xzx)?0, 解得 zx??yF1?zF3,
F2?xF3两边对y求导,得 xF1?F2(1?zy)?F3xzy?0. 解得zy??
***9. 函数导数,
yF1?zF3xF1?F2xF?F2dz??dx?1dy. ,所以
F2?xF3F2?xF3F2?xF3由方程,求
和
.
所确定,其中
具有连续一阶偏
解:,
,
, .
***10. 求由方程量解:当
所确定的隐函数在坐标原点处沿由向
所确定的方向的方向导数.
时,
.
?z?x(0.0)?yzz2?xy?0,(0,0)?z?y(0.0)?xzz2?xy?0,
(0,0).
.