第二章

2-1 试证明图P2-1中周期性信号可以展开为 （图略）

(?1)ncos(2n?1)?t s(t)???n?02n?14?证明：因为

s(?t)?s(t) 所以

2?kt?2?kt???ckcos??ckcos?kt s(t)??ckcosT2k?0k?0k?00?

1?1?1s(t)dt?0?c0?0

12?1?1121?2ck??s(t)cosk?tdt??(???1)cosk?tdt??cosk?tdt??124k? sink?20,k?2n????4n(?1)k?2n?1?(2n?1)??所以

(?1)ns(t)??cos(2n?1)?t

?n?02n?14?

2-2设一个信号s(t)可以表示成

?(2t?? s(t)?2cos)????t?

试问它是功率信号还是能量信号，并求出其功率谱密度或能量谱密度。

解：功率信号。

s?(f)???2??2j?cos(2?t??)e?j2?ftdt

sin?(f?1)??j?sin?(f?1)??[e?e]2?(f?1)??(f?1)?12P(f)?lims?

??????sin2?(f?1)?sin2?(f?1)?sin?(f?1)?sin?(f?1)??lim??2cos2? 22222???4?2(f?1)2?2?(f?1)??(f?1)(f?1)?由公式

sin2xtsinxtlim??(x) 和 lim??(x) t???tx2t???x有

P(f)??441?[?(f?1)??(f?1)]4??[?(f?1)]??[?(f?1)]

或者

1P(f)?[?(f?f0)??(f?f0)]

4

2-3 设有一信号如下： x(t)???2exp(?t)?0t?0t?0

试问它是功率信号还是能量信号，并求出其功率谱密度或能量谱密度。 解：

????x(t)2dx?4?e?2tdt?2

0?是能量信号。

S(f)??x(t)ej2?ftdt????2?e?(1?j2?f)tdt

0??21?j2?f22G(f)?1?j2?f?4

1?4?2f2

2-4 试问下列函数中哪一些满足功率谱密度的性质：

（1）?(f)?cos2?f （2）a??(f?a) （3）exp(a?f) 解：

功率谱密度P(f)满足条件：

2????P(f)df为有限值

（3）满足功率谱密度条件，（1）和（2）不满足。