复变函数与积分变换期末试题

一．填空题（每小题3分，共计15分）

1．

?1?i3的幅角是（??2k?,k?0,?1,?2?）；2.

32(5)Ln(?1?i)的主值是

113?f(z)?i ）f（ ln2?；3.

1?z2，24(0)?（ 0 ），4．z?0是

z?sinz1f(z)?的（ 一级 ）极点；5． ，Res[f(z),?]?（-1 ）；

z4z二．选择题（每题3分，共15分）

1．解析函数f(z)?u(x,y)?iv(x,y)的导函数为（ ）；

（A）

f?(z)?ux?iuy； （B）f?(z)?ux?iuy；

（C）

f?(z)?ux?ivy； （D）f?(z)?uy?ivx.

C2．C是正向圆周z?3，如果函数f(z)?（ ），则?f(z)dz?0．

33(z?1)3(z?1)3； （B）； （C）； （D）. 22z?2z?2(z?2)(z?2)（A）

ncz3．如果级数?nn?1?在z?2点收敛，则级数在

（A）z??2点条件收敛 ； （B）z?2i点绝对收敛；

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1

（C）z?1?i点绝对收敛； （D）z?1?2i点一定发散．

４．下列结论正确的是( )

（A）如果函数f(z)在z0点可导，则f(z)在z0点一定解析；

(B) 如果f(z)在C所围成的区域内解析，则?Cf(z)dz?0 （C）如果

?Cf(z)dz?0，则函数f(z)在C所围成的区域内一定解析；

（D）函数

f(z)?u(x,y)?iv(x,y)在区域内解析的充分必要条件是

u(x,y)、v(x,y)在该区域内均为调和函数．

5．下列结论不正确的是（ ）．

1?为sin的可去奇点；(A) (B) ?为sinz的本性奇点；

z(C) ?为的孤立奇点;(D) ?为1的孤立奇点. 1sinzsinz1三．按要求完成下列各题（每小题10分，共40分）

（1）．设f(z)?x?axy?by?i(cx?dxy?y)是解析函数，求

2222a,b,c,d.

解：因为f(z)解析，由C-R条件

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2

?u?v?u?v??? ?x?y?y?x2x?ay?dx?2yax?2by??2cx?dy,

a?2,d?2,，a??2c,2b??d,c??1,b??1,

给出C-R条件6分，正确求导给2分，结果正确2分。

ezdz其中C是正向圆周： （2）．计算?C2(z?1)z解：本题可以用柯西公式\\柯西高阶导数公式计算也可用留数计算洛朗展开计算，仅给出用前者计算过程

ez因为函数f(z)?在复平面内只有两个奇点z1?0,z2?1，分别以z1,z22(z?1)z为圆心画互不相交互不包含的小圆

c1,c2且位于c内

ez?C(z?1)2zdz??C1ezez(z?1)2zdzdz?? C2(z?1)2zezez?2?i()??2?izz?1(z?1)2?2?i

z?0无论采用那种方法给出公式至少给一半分，其他酌情给分。

z15（3）．?dz

z?3(1?z2)2(2?z4)3解：设f(z)在有限复平面内所有奇点均在：z?3内，由留数定理

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