经济数学基础作业1

一、填空题 1.limx?0x?sinx?___________________.答案：1 x?x2?1,x?02.设f(x)??，在x?0处连续，则k?________.答案1

?k,x?0?3.曲线y?x+1在(1,1)的切线方程是 . 答案:y=1/2X+3/2

__.答案2x 4.设函数f(x?1)?x2?2x?5，则f?(x)?__________5.设f(x)?xsinx，则f??()?__________.答案: ?

二、单项选择题

1. 当x???时，下列变量为无穷小量的是（ D ）

?2sinxx2A．ln(1?x) B． C．ex D．

xx?11π2?2

2. 下列极限计算正确的是（ B ） A.limx?0xx?1 B.lim?x?0xx?1 C.limxsinx?01sinx?1 D.lim?1

x??xx3. 设y?lg2x，则dy?（ B ）． A．

11ln101dx B．dx C．dx D．dx 2xxln10xx4. 若函数f (x)在点x0处可导，则( B )是错误的．

A．函数f (x)在点x0处有定义 B．limf(x)?A，但A?f(x0)

x?x0 C．函数f (x)在点x0处连续 D．函数f (x)在点x0处可微 5.若f()?x，则f?(x)?（ B ）. A．

1x1111?? B． C． D． 22xxxx

三、解答题 1．计算极限

本类题考核的知识点是求简单极限的常用方法。它包括： ⑴利用极限的四则运算法则； ⑵利用两个重要极限；

⑶利用无穷小量的性质(有界变量乘以无穷小量还是无穷小量) ⑷利用连续函数的定义。

1

x2?3x?2（1）lim

x?1x2?1分析：这道题考核的知识点是极限的四则运算法则。

具体方法是：对分子分母进行因式分解，然后消去零因子，再利用四则运算法则限进行计算 解：原式=limx?21?21(x?1)(x?2)?? =lim=

x?1x?1x?1(x?1)(x?1)1?12x2?5x?6（2）lim2

x?2x?6x?8分析：这道题考核的知识点主要是利用函数的连续性求极限。

具体方法是：对分子分母进行因式分解，然后消去零因子，再利用函数的连续性进行计算 解：原式=limx?32?31(x?2)(x?3)?? =limx?2x?4x?2(x?2)(x?4)2?42（3）limx?01?x?1 x分析：这道题考核的知识点是极限的四则运算法则。

具体方法是：对分子进行有理化，然后消去零因子，再利用四则运算法则进行计算 解：原式=limx?0(1?x?1)(1?x?1)x(1?x?1)=limx?01?x?1x(1?x?1)=lim?x?011?x?1=?1 22x2?3x?5（4）lim2

x??3x?2x?4分析：这道题考核的知识点主要是函数的连线性。

352??2xx?2?0?0?2 解：原式=limx??243??23?0?03xxsin3x（5）lim

x?0sin5x分析：这道题考核的知识点主要是重要极限的掌握。

具体方法是：对分子分母同时除以x，并乘相应系数使其前后相等，然后四则运算法则和重要极限进行计算

sin3xsin3xlim33x?03x313解：原式=lim3x??????

x?0sin5xsin5x51555limx?05x5xx2?4（6）lim

x?2sin(x?2)分析：这道题考核的知识点是极限的四则运算法则和重要极限的掌握。

具体方法是：对分子进行因式分解，然后消去零因子，再利用四则运算法则和重要极限进行计算

2

解：原式=lim(x?2)(x?2)x?2?lim(x?2)?lim?4?1?4

x?2x?2x?2sin(x?2)sin(x?2)1?xsin?b,x?0?x?2．设函数f(x)??a,x?0，

?sinxx?0?x?问：（1）当a,b为何值时，f(x)在x?0处极限存在？ （2）当a,b为何值时，f(x)在x?0处连续.

分析：本题考核的知识点有两点，一是函数极限、左右极限的概念。即函数在某点极限存在的充分必要条件是该

点左右极限均存在且相等。二是函数在某点连续的概念。 解：（1）因为f(x)在x?0处有极限存在，则有

x?0?limf(x)?limf(x) ?x?0f(x)?lim(xsin?b)?b 又 lim??x?0x?01xf(x)?lim lim??x?0x?0sinx?1 x即 b?1

所以当a为实数、b?1时，f(x)在x?0处极限存在. （2）因为f(x)在x?0处连续，则有

f(x)?limf(x)?f(0) lim??x?0x?0又 f(0)?a，结合（1）可知a?b?1 所以当a?b?1时，f(x)在x?0处连续.

3．计算下列函数的导数或微分：

本题考核的知识点主要是求导数或（全）微分的方法，具体有以下三种： ⑴利用导数(或微分)的基本公式 ⑵利用导数(或微分)的四则运算法则 ⑶利用复合函数微分法

（1）y?x?2?log2x?2，求y? 分析：直接利用导数的基本公式计算即可。 解：y??2x?2ln2?

x2x21 xln23

（2）y?ax?b，求y?

cx?d分析：利用导数的基本公式和复合函数的求导法则计算即可。 解：y??(ax?b)?(cx?d)?(ax?b)(cx?d)?a(cx?d)?(ax?b)cad?bc= = 222(cx?d)(cx?d)(cx?d)13x?5，求y?

（3）y?分析：利用导数的基本公式和复合函数的求导法则计算即可。

??1?13解：y??[(3x?5)]???(3x?5)2(3x?5)???(3x?5)2

22?1213（4）y?x?xex，求y?

分析：利用导数的基本公式计算即可。

1?xx解：y??(x)??(xe)??x2?e?xe

2x121分析：利用导数的基本公式和复合函数的求导法则计算即可。 （5）y?esinbx，求dy

axaxaxax解：y??(e)?sinbx?e(sinbx)??e(ax)?sinbx?ecosbx(bx)?=aesinbx?becosbx

axaxaxdy?y?dx?(aeaxsinbx?beaxcosbx)dx

（6）y?e?xx，求dy

分析：利用微分的基本公式和微分的运算法则计算即可。

1x1x13解：y??(e)??(x)??e()??xx2e3 dy?y?dx?(?2?x2)dx

2x（7）y?cosx?e?x21x11x321x3?12e3??2?x2

2x1，求dy

分析：利用导数的基本公式和复合函数的求导法则计算 解：y??(cosx)??(e?x)???sin（8）y?sinx?sinnx，求y?

分析：利用导数的基本公式和复合函数的求导法则计算 解：y??[(sinx)]??(sinnx)??n(sinx)

nn?1n2x(x)??e?x(?x2)???2sinx2x?2xe?x

2(sinx)??cosnx(nx)??n(sinx)n?1cosx?ncosnx

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