∴AA是对称矩阵。 ∵ATATT??T?AT?AT??T?ATA

∴AA是对称矩阵.

3．设A,B均为n阶对称矩阵，则AB对称的充分必要条件是：AB?BA。 证： 必要性：

∵A?A ， B?B 若AB是对称矩阵，即?AB??AB

TTT而?AB??BA?BA 因此AB?BA

TT充分性：

若AB?BA，则?AB??BTAT?BA?AB

T∴AB是对称矩阵.

4．设A为n阶对称矩阵，B为n阶可逆矩阵，且B 证：∵A?A BT?1?1?BT，证明B?1AB是对称矩阵。

?BT

?1T?B

?1AB?1???AB???B?TT?BT?AT?BT??T?B?1AB

∴BAB是对称矩阵. 证毕.

经济数学基础作业4

（一）填空题 1.函数f(x)?4?x?21的定义域为___________________。答案：(1,2)??2,4?.

ln(x?1)2. 函数y?3(x?1)的驻点是________，极值点是 ，它是极 值点。答案：x=1；（1，0）；小。 3.设某商品的需求函数为q(p)?10e111?p2，则需求弹性Ep? .答案：Ep=?.答案：4.

p 24.行列式D??1?111?____________?11?1A???0??015. 设线性方程组AX?b，且

6?，则t__________时，方程组有唯一解. 答案：t?132??0t?10??13

1??1.

（二）单项选择题

1. 下列函数在指定区间(??,??)上单调增加的是（ B ）．

A．sinx B．e x C．x 2 D．3 – x 2. 设f(x)?1，则f(f(x))?（ C ）． x112A． B．2 C．x D．x

xxx?x1e?e11ex?e?xdx?0 B．?dx?0 C．?xsinxdx?0 D．?(x2?x3)dx?0 A．??1?1-1-12213. 下列积分计算正确的是（ A ）．

4. 设线性方程组Am?nX?b有无穷多解的充分必要条件是（ D ）．

A．r(A)?r(A)?m B．r(A)?n C．m?n D．r(A)?r(A)?n

?x1?x2?a1?5. 设线性方程组?x2?x3?a2，则方程组有解的充分必要条件是（ C ）．

?x?2x?x?a233?1A．a1?a2?a3?0 B．a1?a2?a3?0 C．a1?a2?a3?0 D．?a1?a2?a3?0

三、解答题

1．求解下列可分离变量的微分方程： (1) y??ex?y 解:

dy?ex?ey , e?ydy?exdx ?e?ydy??exdx , ?e?y?ex?c dxdyxex（2）?2

dx3y解: 3ydy?xedx

2x?3y2x3xx3xxdy??xde y?xe??edx y?xe?e?c

2. 求解下列一阶线性微分方程： （1）y??解:y?e2y?(x?1)3 x?1?2??3?x?1dx???x?1?e??e2ln?x?1?dx?c?????2?????dx?x?1?????x?1?e3?2ln?x?1?dx?c??x?1??2???x?1?dx?c?

??x?1??2?1?x?1?2?c?? ?2? 14

（2）y??解:y?ey?2xsin2x x??1??????dx??2xsin2x?e?x?dx?c??elnx??????1?????dx?x???2xsin2x?e?lnxdx?c

?1???x??2xsin2x?dx?c??x?sin2xd2x?c ?x??cos2x?c?

x??3.求解下列微分方程的初值问题： (1)y??e2x?y,y(0)?0

??dye2x?解： dxey

?eyydy??e2xdx

e?12xe?c 2 用x?0,y?0代入上式得：

101e?c， 解得c? 2212x1y ∴特解为：e?e?

22 e?0 (2)xy??y?e?0,y(1)?0 解：y??x11y?ex xx?11xdx?e?xdx??x?dx?c? y?e??x?e?

?? ?e?lnx?1xlnx????e?edx?c? ?x?xx ?1x??edx?c??1?ex?c

? 用x?1,y?0代入上式得： 0?e?c 解得：c??e ∴特解为：y?1xe?c x??（注意：因为符号输入方面的原因，在题4—题7的矩阵初等行变换中，书写时应把（1）写成①；（2）写成②；（3）写成③；…）

15

4.求解下列线性方程组的一般解：

?2x3?x4?0?x1?（1）??x1?x2?3x3?2x4?0

?2x?x?5x?3x?0234?12?1?2?1??10?10?2???1??1???01?11??3???2??1?3???1????2?解：A=?11?32??????????????????2?15?3???0?11?1???102?1??01?11? ???0??000?所以一般解为

??x1??2x3?x4 其中?xx3,x4是自由未知量。2?x3?x 4

?2x1?x2?x3?x4?1（2）??x1?2x2?x3?4x4?2

??x1?7x2?4x3?11x4?5??解：A??2?1111?12?14??1?,?2???12?142??2???1????2??12?2??????2?1111??3???1????1??7?4115??1??17?4115??????????0?5????05??12???3???2??1??2?140???2?????1??5???12?142?1??????53?7?3??????01?373?????1????2?????2???????00000???00055?0?05?0???0?????x?416?秩?A?=2，所以方程组有解，一般解为?1?5?5x3?因为秩A5x4?337

?x2?5?5x3?5x4其中x3,x4是自由未知量。

5.当?为何值时，线性方程组

??x1?x2?5x3?4x4?2??2x1?x2?3x3?x4?1xx ?31?2x2?23?3x4?3??7x1?5x2?9x3?10x4??有解，并求一般解。

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?142?3?7?3?

?373???0164?5355?1?73?005505?0????